各种数据结构的时间复杂度分析

对于同一个数据结构来说，底层实现的不同往往会呈现出不同的时间复杂度。以数组为例：

.	普通数组实现	顺序数组实现	二分搜索树（平衡）
插入	O(1)	O(n)	O(logn)
查找	O(n)	O(logn)	O(logn)
删除	O(n)	O(n)	O(logn)

1. 动态数组

对于一个基于Java E[]实现的动态数组Array来说，它的时间复杂度如下：

• 增：O(n)
• 删：O(n)
• 改：已知索引 O(1)；未知索引 O(n)
• 查：已知索引 O(1)；未知索引 O(n)
• resize：通过均摊复杂度分析得 O(1)

2. 数组栈

对于一个基于动态数组Array实现的数组栈ArrayStack来说，它的时间复杂度如下：

• void push(E): O(1) 均摊
• E pop(): O(1) 均摊
• E peek(): O(1)
• int getSize(): O(1)
• boolean isEmpty(): O(1)

3. 数组队列

对于一个基于动态数组Array实现的数组队列ArrayQueue来说，它的时间复杂度如下：

• void enqueue(E): O(1) 均摊
• E dequeue(): O(n)
• E front(): O(1)
• int getSize(): O(1)
• boolean isEmpty(): O(1)

4. 循环数组队列

对于一个基于Java E[]实现的循环队列LoopQueue来说，它的时间复杂度如下：

• void enqueue(E): O(1) 均摊
• E dequeue(): O(1) 均摊
• E front(): O(1)
• int getSize(): O(1)
• boolean isEmpty(): O(1)

数组和链表

数组最大的优点：支持随机访问、快速查询。
数组最好用于索引有语义的情况。

链表最大的优点：动态。
链表不适合用于索引有语义的情况。

5. 链表

• 增：O(n)
• 删：O(n)
• 改：O(n)
• 查：O(n)

链表不适合修改操作；
如果只对链表头进行增删查操作：O(1)

6. 链表栈

• 与数组栈各操作的时间复杂度上是同一量级 O(1)。
• 时间上的差异可能在于：数组栈在分配空间方面；链表栈在new寻找内存空间方面。

7. 链表队列

• 与数组队列各操作的时间复杂度上是同一量级 O(1)。
• 特别的，链表的head容易做增、删操作，而tail只容易做增操作，故tail端入队，head端出队。

链表是天然的递归结构。递归调用是有代价的：函数调用+系统栈空间。
递归函数的调试：添加一个递归深度变量depth作为函数参数。

8. 双链表

9. 循环链表

10. 数组链表

11. 集合

.	LinkedListSet	BSTreeSet	BSTreeSet最优	BSTreeSet最差
增add	O(n)	O(h)	O(logn)	O(n)
删remove	O(n)	O(h)	O(logn)	O(n)
查contains	O(n)	O(h)	O(logn)	O(n)

基于搜索树的实现：有序集合
基于哈希表的实现：无序集合

多重集合：集合中的元素可以重复

12. 映射

.	LinkedListMap	BSTreeMap	BSTreeMap最优	BSTreeMap最差
增add	O(n)	O(h)	O(logn)	O(n)
删remove	O(n)	O(h)	O(logn)	O(n)
改set	O(n)	O(h)	O(logn)	O(n)
查contains	O(n)	O(h)	O(logn)	O(n)
查get	O(n)	O(h)	O(logn)	O(n)

基于搜索树的实现：有序映射
基于哈希表的实现：无序映射

多重映射：映射中的键可以重复

13. 优先队列

.	入队	出队（拿出最大元素）
普通线性结构	O(1)	O(n)
顺序线性结构	O(n)	O(1)
堆	O(logn)	O(logn)

14. 最大堆

操作	时间复杂度
add, Sift Up	O(logn)
extractMax, Sift Down	O(logn)

• replace：取出最大元素后，放入一个新元素

实现1：先extractMax，再add，两次O(logn)
实现2：先将堆顶元素替换，再Sift Down，一次O(logn)

• heapify：将任意数组整理成堆的形状

实现1：将n个元素逐个插入到一个空堆中，O(nlogn)
实现2：从最后一个非叶子节点往堆顶遍历，不断进行Sift Down，O(n)：证明略。

15. 线段树

• 线段树不是完全二叉树，线段树和堆都是平衡二叉树。

操作	使用数组实现	使用线段树
更新	O(n)	O(logn)
查询	O(n)	O(logn)

16. Trie前缀树

应用：查询一个字符串字典，例如通讯录。

操作	使用树状字典	使用Trie
查询	O(logn)	O(w)

如果有100万个条目（2^20），logn约为20；
Trie中w为查询单词的长度，大多数单词的长度小于10。

17. 并查集

数组实现，数组结构的Quick Find版：
查看元素p和元素q是否所属一个集合，时间复杂度是O(1)
合并元素p和元素q所属的集合，时间复杂度是O(n)

数组实现，树状结构的Quick Union版（由孩子指向父亲的特殊树结构）：
查看元素p和元素q是否所属一个集合，时间复杂度是O(h)
合并元素p和元素q所属的集合，时间复杂度是O(h)

路径压缩有的并查集：时间复杂度为O(log*n) -> iterated logarithm
比O(logn)要快，略慢于O(1)

18. AVL树

名称来源：发明者的名字开头字母。
1962年提出，最早的自平衡二分搜索树结构。

平衡二叉树：对于任意一个节点，左子树和右子树的高度差不能超过1（平衡因子绝对值不超过1）

真正的O(logn)

19. 2-3树

是一种绝对平衡的搜索树。即根节点到任意一个叶子节点所经过的节点数量一定相同。

20. 红黑树

是一种保持“黑平衡”的二叉树。
不是平衡二叉树，最大高度为2logn，时间复杂度都是O(logn)
与AVL树的对比：
增删操作：红黑树更快，因为维持平衡的时间消耗少
查询操作：AVL更快

21. 哈希表

链地址法解决哈希冲突时，总共有M个地址，如果放入哈希表的元素为N：
（1）每个地址用链表实现，则时间复杂度：O(N/M)
（2）每个地址用平衡树实现，则时间复杂度：O(log(N/M))

动态空间的哈希表：均摊复杂度是O(1)