逻辑回归及其python实现

逻辑回归原理

sigmod函数

下图给出了sigmod 函数在不同坐标尺度下的两条曲线图。当 x 为 0 日牝 Sigmoid 函数值为 0.5 。
随着 1 的增大，对应的sigmod值将逼近于 1; 而随着 x 的减小， Sigmoid 值将逼近于 0 。如果横坐标
刻度足够大（下图 ），sigmod 函数看起来很像一个阶跃函数。

原理

上图，将y作为正例的可能性，则1-y是反例的可能性

• 无需事先假设数据分布

• 可得到“类别”的近似概率预测

• 可直接应用现有数值优化算法求取最优解

如何确定最优系数

若将 y 看作类后验概率估计
则：

写为
：

显然

于是，可使用“极大似然法”
给定数据集
最大化“对数似然”(log-likelihood)函数

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梯度上升法

原理

梯度上升法基于的思想是：要找到某函数的最大值，最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻。如果梯度记为 ^ , 则函数 f(x,y)的梯度由下式表示 ：

梯度上升算法沿梯度方向移动了一步。可以看到，梯度算子总是指向函数值增长最快的方向。这里所说的是移动方向，而未提到移动量的大小。该量值称为步长，记做\alpha。用向量来表示的话，梯度算法的迭代公式如下

该公式将一直被迭代执行，直至达到某个停止条件为止，比如迭代次数达到某个指定值或算 法达到某个可以允许的误差范围

算法

伪代码

我们现在采用的是 100 个样本的简单数据集，它包含了两个特征X1 和 X2

from numpy import *

def loadDataSet():
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open('C:/Users/elenawang/Documents/machinelearninginaction/Ch05/testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    dataMatrix = mat(dataMatIn)             #convert to NumPy matrix
    labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.001
    maxCycles = 500
    weights = ones((n,1))
    for k in range(maxCycles):              #heavy on matrix operations
        h = sigmoid(dataMatrix*weights)     #matrix mult
        error = (labelMat - h)              #vector subtraction
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #matrix mult
    return weights

看看效果

dataarr,labelmat=loadDataSet()
gradAscent(dataarr,labelmat)

matrix([[ 4.12414349],
        [ 0.48007329],
        [-0.6168482 ]])

画出决策边界

def plotBestFit(weights):
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()
    dataArr = array(dataMat)
    n = shape(dataArr)[0] 
    xcord1 = []; ycord1 = []
    xcord2 = []; ycord2 = []
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i])== 1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
    x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
    y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
    y = array(y)
    ax.plot(x, y[0])  #必须是y[0]
    plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
    plt.show()

weights=gradAscent(dataarr,labelmat)
plotBestFit(weights)

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随机梯度上升

原理
梯度上升算法在每次更新回归系数时都需要遍历整个数据集, 该方法在处理 100 个左右的数据集时尚可，但如果有数十亿样本和成千上万的特征，那么该方法的计算复杂度就太高了。一 种改进方法是一次仅用一个样本点来更新回归系数，该 方 法 称 为 随 机 梯 度 上 升 算 法 。 由于可以在新样本到来时对分类器进行增量式更新，因而随机梯度上升算法是一个在线学习算法。与 “在线学习 ” 相对应，一次处理所有数据被称作是 “ 批处理” 。

算法

伪代码：
初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

    对数据集中每个样本

           计算该样本的梯度

            使用alpha xgradient来更新回归系数

}

def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.01
    weights = ones(n)   #initialize to all ones
    for i in range(m):
        h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
        error = classLabels[i] - h
        weights = weights + dot(alpha * error ,dataMatrix[i])
    return weights

def plotBestFit(weights):
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()
    dataArr = array(dataMat)
    n = shape(dataArr)[0] 
    xcord1 = []; ycord1 = []
    xcord2 = []; ycord2 = []
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i])== 1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
    x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
    y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
    y = array(y)
    ax.plot(x, y)  #改成y
    plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
    plt.show()

weights=stocGradAscent0(dataarr,labelmat)
plotBestFit(weights)

增加迭代次数改进上述算法