算法设计--整数划分问题

整数划分问题：
将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。

算法分析：
根据n和m的关系，可以考虑下面几种情况：
（1）当n = 1时，不管m的值为多少（m > 0），只有一种划分即 { 1 }。
（2）当m = 1 时，不管n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,1…..1}。
（3）当n = m 时，根据划分中是否包含n，可以划分两种情况：
（a）划分中包含n的情况，只有一个，即{ n }。
（b）划分中不包含n的情况，这时候划分中最大的数字也一定比n小，及n的所有n-1划分，因此可以用递归来解决f(n,n) = f(n,n-1)+1.
（4）当n < m 时，由于划分中不可能出现负数，（n最多也就是n个1，因此不可能出现m个划分相加，不可能出现负数）因此相当于f(n,n) 。
（5）当n > m 时，根据划分中是否包含最大值m，可划分为两种情况：
（a）划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,…xi}}其中{x1,x2,….xi}的和位n – m，可能再次出现m， 因此是（n - m）的m划分，因此这种划分个数为f（n – m,m）
（b）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的（m - 1）划分，个数为f(n, m-1)，因此f(n,m) = f(n – m, m) + f(n,m - 1).
综合以上情况，可以看出，整数划分具有递归定义的特征，其递归表达式为：

算法实现

// test01_huafen.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//
#include "stdafx.h"
int q(int n,int m)
{
    if ((n<1)||(m<1))  return 0;
    if ((n==1)||(m==1))  return 1;
    if (n<m) return q(n,n);
    if (n==m) return q(n,m-1)+1;
        return q(n,m-1)+q(n-m,m);
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int n;
    printf("输入一个整数:");
    scanf("%d",&n);
    printf("%d",q(n,n));
    scanf("%d",n);
    return 0;
}

结果：

输入一个整数:6
11

将输入的数据进行检验：
6；
5+1；
4+2，4+1+1；
3+3，3+2+1，3+1+1+1；
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
1+1+1+1+1+1；
如上图划分所示，总共有11中不同的划分结果。