Manacher's Algorithm——搜索最长回文串

最近刷leetcode刷到一个寻找最长回文串的题，想了很久都没想出能够将算法复杂度降低至O(n²)以下的方法，只能上网搜求答案：Manacher’s Algorithm 马拉车算法

这篇文章将Manacher算法分为两个重点：

1. 对字符串进行修改，在每个字符两边添加标识符#，而后在字符串首另外添加符号$ ，于是乎字符串abcdcba变为$#a#b#c#d#c#b#a#，根据原文中的求解，原回文串长度l₀与现回文串半径r₁的关系为l₀ = r₁ -1，而原回文串的起始位置p₀ = (m₁ - r₁) / 2，其中m₁为现回文串的中心点位置
2. 逐字符扫描，新增两个变量mx和id，mx为当前已知所有回文串的右边界中最大的那一个(所有处于已知回文串的字符的位置均小于mx)，id则为该回文串的中心位置，此时有p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1; 其中p[i]为第i个字符的半径，即我们正在扫描的字符的半径

其中1比较好理解，但是2有点费解，这里按照我自己的思路去解释2，manacher算法其实是基于中心扩展法的一个优化，对于我们正在扫描字符s[i]，有两种情况：(1)独立存在 （2）被包含在另一个回文串中，manacher算法正是基于这两种情况给出了优化方案：

1. mx <= i，很明显，当前正在扫描的字符s[i]不被包含在任何一个已知的回文串中，所以我们只能根据中心扩展法，一个一个的乖乖扫描出以s[i]为中心的回文串半径
2. mx > i，i被包含在回文串h中（h的右边界即为mx），这里又分两种情况，2*id-i 是i在回文串h中的对称位置，如果mx-i > p[2*id-i]，根据对称原则，以i为中心的回文串被全包含在回文串h中，所以p[i]=p[2*id-i]，否则的话，p[i]的半径至少为mx-i，然后我们就只能继续往右逐字符扫描，计算出p[i]的真实值

原文作者已经贴出他自己的代码，这里就不赘述了。