贝叶斯公式，对似然函数

定理定义

贝叶斯公式（发表于1763年）为：

这就是著名的“贝叶斯定理”，一些文献中把P(B[1])、P(B[2])称为基础概率，P(A│B[1])为击中率，P(A│B[2])为误报率。

应用例子

吸毒者检测

贝叶斯定理在检测吸毒者时很有用。假设一个常规的检测结果的敏感度与可靠度均为99%，也就是说，当被检者吸毒时，每次检测呈阳性（+）的概率为99%。而被检者不吸毒时，每次检测呈阴性（-）的概率为99%。从检测结果的概率来看，检测结果是比较准确的，但是贝叶斯定理却可以揭示一个潜在的问题。假设某公司将对其全体雇员进行一次鸦片吸食情况的检测，已知0.5%的雇员吸毒。我们想知道，每位医学检测呈阳性的雇员吸毒的概率有多高？令“D”为雇员吸毒事件，“N”为雇员不吸毒事件，“+”为检测呈阳性事件。可得

• P(D)代表雇员吸毒的概率，不考虑其他情况，该值为0.005。因为公司的预先统计表明该公司的雇员中有0.5%的人吸食毒品，所以这个值就是D的先验概率。
• P(N)代表雇员不吸毒的概率，显然，该值为0.995，也就是1-P(D)。
• P(+|D)代表吸毒者阳性检出率，这是一个条件概率，由于阳性检测准确性是99%，因此该值为0.99。
• P(+|N)代表不吸毒者阳性检出率，也就是出错检测的概率，该值为0.01，因为对于不吸毒者，其检测为阴性的概率为99%，因此，其被误检测成阳性的概率为1-99%。
• P(+)代表不考虑其他因素的影响的阳性检出率。该值为0.0149或者1.49%。我们可以通过全概率公式计算得到：此概率 = 吸毒者阳性检出率（0.5% x 99% = 0.00495)+ 不吸毒者阳性检出率（99.5% x 1% = 0.00995)。P(+）=0.0149是检测呈阳性的先验概率。用数学公式描述为：

根据上述描述，我们可以计算某人检测呈阳性时确实吸毒的条件概率P(D|+)：

P(D|+) = P(+|D)P(D)/(P(+|D)P(D)+P(+|N)P(N))=0.99 *0.005/0.0149=0.332215

尽管我们的检测结果可靠性很高，但是只能得出如下结论：如果某人检测呈阳性，那么此人是吸毒的概率只有大 约33%，也就是说此人不吸毒的可能性比较大。我们测试的条件（本例中指D，雇员吸毒）越难发生，发生误判的可能性越大。

但如果让此人再次复检（相当于P(D)=33.2215%，为吸毒者概率，替换了原先的0.5%），再使用贝叶斯定理计算，将会得到此人吸毒的概率为98.01%。但这还不是贝叶斯定理最强的地方，如果让此人再次复检，再重复使用贝叶斯定理计算，会得到此人吸毒的概率为99.8%（99.9794951%）已经超过了检测的可靠度。

求最大似然估计量的一般步骤：
        （1）写出似然函数；
        （2）对似然函数取对数，并整理；
        （3）求导数；
        （4）解似然方程。
        最大似然估计的特点：
        1.比其他估计方法更加简单；
        2.收敛性：无偏或者渐近无偏，当样本数目增加时，收敛性质会更好；

        3.如果假设的类条件概率模型正确，则通常能获得较好的结果。但如果假设模型出现偏差，将导致非常差的估计结果。

转自：https://www.cnblogs.com/zhsuiy/p/4822020.html

一直对贝叶斯里面的似然函数（likelihood function），先验概率（prior），后验概率（posterior）理解得不是很好，今天仿佛有了新的理解，记录一下。

看论文的时候读到这样一句话：

原来只关注公式，所以一带而过。再重新看这个公式前的描述，细思极恐。

the likelihood function of the parameters θ = {w,α,β} given the observations D can be factored as..

两个疑问：likelihood function为什么会写成条件概率的形式？given的明明是D，为什么到后面的公式里，却变成了given θ 呢？

百度了一下，先贴上wikipedia的解释：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%BC%E7%84%B6%E5%87%BD%E6%95%B0

下面整理一下自己的理解，借用wikipedia里面硬币的例子。

常说的概率是指给定参数后，预测即将发生的事件的可能性。拿硬币这个例子来说，我们已知一枚均匀硬币的正反面概率分别是0.5，要预测抛两次硬币，硬币都朝上的概率：

H代表Head，表示头朝上

p(HH | pH = 0.5) = 0.5*0.5 = 0.25.

这种写法其实有点误导，后面的这个p其实是作为参数存在的，而不是一个随机变量，因此不能算作是条件概率，更靠谱的写法应该是 p(HH;p=0.5)。

而似然概率正好与这个过程相反，我们关注的量不再是事件的发生概率，而是已知发生了某些事件，我们希望知道参数应该是多少。

现在我们已经抛了两次硬币，并且知道了结果是两次头朝上，这时候，我希望知道这枚硬币抛出去正面朝上的概率为0.5的概率是多少？正面朝上的概率为0.8的概率是多少？

如果我们希望知道正面朝上概率为0.5的概率，这个东西就叫做似然函数，可以说成是对某一个参数的猜想（p=0.5）的概率，这样表示成(条件)概率就是

L(pH=0.5|HH) = P(HH|pH=0.5) = （另一种写法）P(HH;pH=0.5).

为什么可以写成这样？我觉得可以这样来想：

似然函数本身也是一种概率，我们可以把L(pH=0.5|HH)写成P(pH=0.5|HH); 而根据贝叶斯公式，P(pH=0.5|HH) = P(pH=0.5,HH)/P(HH)；既然HH是已经发生的事件，理所当然P(HH) = 1,所以：

P(pH=0.5|HH)  = P(pH=0.5,HH) = P(HH;pH=0.5).

右边的这个计算我们很熟悉了，就是已知头朝上概率为0.5，求抛两次都是H的概率，即0.5*0.5=0.25。

所以，我们可以safely得到:

L(pH=0.5|HH) = P(HH|pH=0.5) = 0.25.

这个0.25的意思是，在已知抛出两个正面的情况下，pH = 0.5的概率等于0.25。

再算一下

L(pH=0.6|HH) = P(HH|pH=0.6) = 0.36.

把pH从0~1的取值所得到的似然函数的曲线画出来得到这样一张图：

（来自wikipedia）

可以发现，pH = 1的概率是最大的。

即L(pH = 1|HH) = 1。

那么最大似然概率的问题也就好理解了。

最大似然概率，就是在已知观测的数据的前提下，找到使得似然概率最大的参数值。

这就不难理解，在data mining领域，许多求参数的方法最终都归结为最大化似然概率的问题。

回到这个硬币的例子上来，在观测到HH的情况下，pH = 1是最合理的（却未必符合真实情况，因为数据量太少的缘故）。

先理解这么多。