CNN中的梯度的求法和反向传播过程

写这个起因是前段时间面试的时候被问到了CNN中反向传播该怎么求，我说直接算就好了呀，面试官让我下来再看看。之后问了下舍友，舍友说需要去把卷积核旋转180°来反向传播，然后我就赶紧查了下相关资料，发现还是非常interesting的。【不过这种本质上还是链式法则直接求的结果，只是形式上会比较tricky】

卷积神经网络（Convolutional Neural Network）

关于卷积神经网络的相关介绍也太多了，所以这里就简要提一下。CNN中主要有3种layer形式：

卷积层（Convolutional）

卷积层自不必我多说啊，太多关于这个的介绍了。

xℓij=∑a=0m−1∑b=0m−1ωabyℓ−1(i+a)(j+b).

上式中 xℓij 表示第 ℓ 层的坐标为 i,j 的点是如何计算出来的。

不过一个有意思的地方在于，在一些外文资料中，卷积层是按照卷积真正的计算顺序倒着乘的，比如参考资料3中的写法，有些是按照正常的顺序来乘的。这个顺序倒是无所谓的，正着乘的话只是相当于把卷积核倒转了180°之后倒着乘的。
但是这个地方也确实解释了，我之前的一个疑惑，就是卷积明明是倒着乘的呀，为啥CNN中是正着的。看来它只是为了方便计算而已。
像CNN用matlab写的话，其自带的conv函数就是倒着乘的。这点要注意。

池化层（Pooling也叫sub-sampling）

池化主要是在一个长方形区域内，选取特征的最大值（或者平均值）。
这样的好处有：因为经过原来卷积训练之后，可能特征维度依然很大，还是会容易很出现过拟合，而通过池化大大较少特征的维度，减少过拟合的出现。【注意这里也说明了，只要能够降低计算的维度和参数个数，就能够减少过拟合】

池化层最主要的好处就是提供了一种不变性：

如果人们选择图像中的连续范围作为池化区域，并且只是池化相同(重复)的隐藏单元产生的特征，那么，这些池化单元就具有平移不变性 (translation invariant)。这就意味着即使图像经历了一个小的平移之后，依然会产生相同的 (池化的) 特征。在很多任务中 (例如物体检测、声音识别)，我们都更希望得到具有平移不变性的特征，因为即使图像经过了平移，样例(图像)的标记仍然保持不变。例如，如果你处理一个MNIST数据集的数字，把它向左侧或右侧平移，那么不论最终的位置在哪里，你都会期望你的分类器仍然能够精确地将其分类为相同的数字。

以上节选自UFLDL里面的说明。

全连接层（Fully-Connected）

经过几层的卷积和池化层之后，需要经过若干层的全连接层，为了达到分类用的softmax函数，所以必须经过一个全连接层（也可以是几个，像AlexNet的就是3层全连接层，可能是因为3层全连接就能表示任意函数了吧）。

另外全连接层也就意味着破坏了其空间结构，所以全连接层之后不能再有卷积层了。

卷积神经网络上的求导和反向传播

卷积层

对于卷积层的反向传播，只要记得下面这两个公式就好：

∂E∂xℓij=∂E∂yℓij∂yℓij∂xℓij=∂E∂yℓij∂∂xℓij(σ(xℓij))=∂E∂yℓijσ′(xℓij)

∂E∂yℓ−1ij=∑a=0m−1∑b=0m−1∂E∂xℓ(i−a)(j−b)∂xℓ(i−a)(j−b)∂yℓ−1ij=∑a=0m−1∑b=0m−1∂E∂xℓ(i−a)(j−b)ωab

可以看到第二个式子就表示了，从这一层向上一层传播的公式，是这一层的误差按照相反方向的卷积进行卷积一遍。不过需要将越界的点进行补零操作。
所以误差的反向传播可以如下：

δl−1x,y=δlx−m,y−m∗(wrot180∘)

所以求 wab 梯度的计算就如下：

∂E∂ωab=∑i=0N−m∑j=0N−m∂E∂xℓij∂xℓij∂ωab=∑i=0N−m∑j=0N−m∂E∂xℓijyℓ−1(i+a)(j+b)

Pooling 层

Pooling层没有做学习/计算，只是做了选择。
所以我们只用讲被选择的最大的那个的误差向前传播就好，没有被选择的就置为0向前传播。
所以这里我们可以看到Max-Pooling层的传播过程有点类似于dropout的情况。所以其能够防止过拟合。

参考文献

1. Convolutional Neural Networks这篇Blog算是我主要了解这个反向传播过程的一篇Blog，讲的也非常清晰。
2. UFLDL大名鼎鼎，以及发现现在这个UFLDL出新版了，将来抽空看一下。
3. Backpropagation In Convolutional Neural Networks图文并茂，不过文章的书写和计算方式不太符合的习惯。