置换群 Polya定理 基础 笔记

1.     等价关系

表示二元集合的方法:

1(a,b)CRa, b 之间有R关系

2关系矩阵:用矩阵ZZi,j表示XiYj是否有关系,有则为1,无则为0

等价关系:满足以下三个性质

自反性:(a,a)CR

对称性:(a,b)CR => (b,a)CR

传递性:(a,b)CR(b,c)CR =>(a,c)CR

                等价类:将等价的元素归入一个集合

                                [a]R={x|xCA, (a,x) C 等价关系R}

显然等价类非空,因为至少有(a,a) CR

2.     置换群

群:满足四个性质的集合G,集合中的元素有运算*

封闭性:a, bCG => a*bCR

结合性:a*(b*c)=(a*b)*c

单位元e存在:对于G中任何元素aa*e=e*a=a

逆元存在:对于G中任何元素a,存在bs.t. a*b=b*a=e

则称G是对于运算*的群

置换:有限集G到有限集G的一一变换

置换群:

1. 含有n个元素的群Gn!个不同的置换

2. m阶循环:一个置换中有m个元素变化,n-m个不变

3. 当所有元素都不动时,称为单位元e

4. 置换的表示:(1,3,4,2)表示1->3, 3->4, 4->2, 2->1

5. Snn个元素的所有置换方式的集合,| Sn |=n!

6. 置换循环分解成换位的乘积时,换位个数的奇偶性不变

3 Burnside引理

Ckk阶循环在一个置换中出现的次数是Ck,用(k)Ck表示

因此,Sn中的置换都可以用

(1) C1 (2) C2…(n) Cn

表示。

其中,∑(k*Ck)=n

共轭类:具有相同(1) C1 (2) C2…(n) Cn格式的置换群体

同一共轭类中的元素个数为

n!/ (Ck!*∑kCk)

K不动置换类:GSn的一个子群,Zk表示Gk不动的置换群。k所属的等价类记为Ek。有

|Ek|*|Zk|=|G|

例如:G={e, (12), (34), (12)(34) }

E1=E2={1, 2}Z1=Z2={e, (34) }|E1|*|Z1|=2*2=4=|G|

Burnside引理:

G={a1, a2 … an}ai都是置换,其中a1=e

Cj(ak)表示置换akj阶循环的个数

L=∑|Zk|/|G|L表示N集合中引出不同等价类的数目

也就是G群中,用m种颜色给n个对象进行染色的不同方案数

4 Polya定理

对于置换群G={ g1, g2 … gn }gi循环节数记为c(gi)。例如g3=(13)(24),则c(g3)=2

L=∑mc(gi)/|G|

 

 

 

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