置换群 Polya定理 基础 笔记

1.     等价关系

表示二元集合的方法：

1．(a,b)CR：a, b 之间有R关系

2．关系矩阵：用矩阵Z，Z_i,j表示X_i和Y_j是否有关系，有则为1，无则为0

等价关系：满足以下三个性质

自反性：(a,a)CR

对称性：(a,b)CR => (b,a)CR

传递性：(a,b)CR，(b,c)CR =>(a,c)CR

                等价类：将等价的元素归入一个集合

                                [a]_R={x|xCA, (a,x) C 等价关系R}

显然等价类非空，因为至少有(a,a) CR

2.     置换群

群：满足四个性质的集合G，集合中的元素有运算*

封闭性：a, bCG => a*bCR

结合性：a*(b*c)=(a*b)*c

单位元e存在：对于G中任何元素a，a*e=e*a=a

逆元存在：对于G中任何元素a，存在b，s.t. a*b=b*a=e

则称G是对于运算*的群

置换：有限集G到有限集G的一一变换

置换群：

1． 含有n个元素的群G有n!个不同的置换

2． m阶循环：一个置换中有m个元素变化，n-m个不变

3． 当所有元素都不动时，称为单位元e

4． 置换的表示：(1,3,4,2)表示1->3, 3->4, 4->2, 2->1

5． S_n：n个元素的所有置换方式的集合，| S_n |=n!

6． 置换循环分解成换位的乘积时，换位个数的奇偶性不变

3． Burnside引理

C_k：k阶循环在一个置换中出现的次数是C_k，用(k)^Ck表示

因此，S_n中的置换都可以用

(1) ^C1 (2) ^C2…(n) ^Cn

表示。

其中，∑(k*C_k)=n

共轭类：具有相同(1) ^C1 (2) ^C2…(n) ^Cn格式的置换群体

同一共轭类中的元素个数为

n!/ (∑C_k!*∑k^Ck)

K不动置换类：G是S_n的一个子群，Z_k表示G中k不动的置换群。k所属的等价类记为E_k。有

|E_k|*|Z_k|=|G|

例如：G={e, (12), (34), (12)(34) }

E₁=E₂={1, 2}，Z₁=Z₂={e, (34) }，|E₁|*|Z₁|=2*2=4=|G|

Burnside引理：

设G={a₁, a₂ … a_n}，a_i都是置换，其中a₁=e。

C_j(a_k)表示置换a_k中j阶循环的个数

L=∑|Z_k|/|G|，L表示N集合中引出不同等价类的数目

也就是G群中，用m种颜色给n个对象进行染色的不同方案数

4． Polya定理

对于置换群G={ g₁, g₂ … g_n }，g_i的循环节数记为c(g_i)。例如g₃=(13)(24)，则c(g₃)=2

L=∑m^c(gi)/|G|