基于PCA的线性监督分类的故障诊断方法-T2与SPE统计量的计算

基于PCA的线性监督分类的故障诊断方法

数据预处理

训练集样本（只有正样本）为 ${\mathrm{X}}_{\mathrm{n}\ast \mathrm{m}}$ （需要列均值为零，采用z-score归一化即可），每行一个样本，样本数目n，特征维度m。

计算m个特征之间的协方差矩阵(也有文献是除以n)：
$$\sum _{\mathrm{m}\ast \mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{n}-1}{\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}\mathrm{X}$$
求协方差矩阵的特征值${\lambda }_i$与特征向量$p_i$，并将特征值按从小达到顺序排列：
$${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_k\ge {\lambda }_{k+1}\ge \cdots \ge {\lambda }_m$$
将特征向量按照对应的特征值重新排列。假设排序后为：
$${\mathrm{V}}_{\mathrm{m}\ast \mathrm{m}}=[p_1,p_2,\cdots ,p_m]$$
按照某个原则（如特征值累计和的占比），选择前k个特征值进行PCA降维。令前k个从大到小的特征值构成对角阵$S_{k\ast k}$，k个对应的特征向量组成降维矩阵$P_{m\ast k}$。即：
$${\mathrm{S}}_{\mathrm{k}\ast \mathrm{k}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_k)$$

$${\mathrm{P}}_{\mathrm{m}\ast \mathrm{k}}=[p_1,p_2,\cdots ,p_k]$$

PCA降维之后，样本数目仍为n，特征数目变为k，降维公式：
$${\tilde{\mathrm{X}}}_{\mathrm{n}\ast \mathrm{k}}=\mathrm{X}\mathrm{P}$$
注：重构公式是(X’是X降维后重构得到的矩阵)：
$${\mathrm{X}}^{\prime }={\tilde{\mathrm{X}}}_{\mathrm{n}\ast \mathrm{k}}{\mathrm{P}}^{\mathrm{T}}=\mathrm{X}\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\mathrm{T}}$$

$T^2$统计量的计算

对于新样本$x_{new(m\ast 1)}$，(注：应使用训练样本归一化的参数对新样本归一化操作)，其$T^2$统计量计算公式如下：
$$\mathrm{T}2=x_{new}^T\mathrm{P}{\mathrm{S}}^{-1}{\mathrm{P}}^T{x}_{new}={\Vert {\mathrm{S}}^{-1/2}{\mathrm{P}}^T{x}_{new}\Vert }_2^2$$
其中$S^{-1/2}$表示对矩阵中每个非零元素（非零的那些$\lambda$）取-1/2指数。${\Vert \bullet \Vert }_2$是向量2范数。

$T^2$统计量的控制限计算公式：
$${\mathrm{T}}_{\alpha }=\frac{\mathrm{k}({\mathrm{n}}^2-1)}{\mathrm{n}(\mathrm{n}-\mathrm{k})}{F}_{\alpha }(\mathrm{k},\mathrm{n}-\mathrm{k})$$
其中，$1-\alpha$是置信度，$F_{\alpha }(\mathrm{k},\mathrm{n}-\mathrm{k})$是服从第一自由度为k，第二自由度为n-k的F分布。

注：由于不同地方似乎对$\alpha$称呼不一致，此处特指满足一下概率公式的$\alpha$：
$$P\{\mathrm{F}({\mathrm{n}}_1,{\mathrm{n}}_2)>{\mathrm{F}}_{\alpha }({\mathrm{n}}_1,{\mathrm{n}}_2)\}=\alpha$$
所以，在此定义下，$\alpha$取值通常为0.01左右。由于定义相反，有的文献则是0.99左右。

故障判定

如系统正常运行，则样本的$T^2$值应该满足$T^2<T_{\alpha }$，反之，可认为出现故障。

参考链接：

https://wenku.baidu.com/view/b9ef2df9dd3383c4bb4cd2e0.html

SPE统计量（也称Q统计量）的计算

对于新样本$x_{new(m\ast 1)}$，其$SPE$统计量计算公式如下：
$$\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{E}=x_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}^{\mathrm{T}}(\mathrm{I}-\mathrm{P}{\mathrm{P}}^{\mathrm{T}})x_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}$$
$SPE$统计量的控制限计算公式：
$${\mathrm{Q}}_{\alpha }={\theta }_1[\frac{c_{\alpha }{h}_0\sqrt{2{\theta }_2}}{{\theta }_1}+1+\frac{{\theta }_2{h}_0(h_0-1)}{{\theta }_1^2}{]}^{1/h_0}$$
其中：
$${\theta }_{\mathrm{r}}=\sum _{j=k+1}^{\mathrm{m}}{\lambda }_j^r(r=1,2,3)$$

$$h_0=1-\frac{2{\theta }_1{\theta }_3}{3{\theta }_2^2}$$

$c_{\alpha }$是标准正态分布的置信极限，满足如下公式：
$$P\{\mathrm{N}(0,1)>{\mathrm{N}}_{{\mathrm{c}}_{\alpha }}(0,1)\}={\mathrm{c}}_{\alpha }$$
所以，这种定义方式下$\alpha$也是取值0.01左右。

故障判定

如系统正常运行，则样本的$SPE$值应该满足$SPE<Q_{\alpha }$，反之，可认为出现故障。

参考链接：

https://wenku.baidu.com/view/b9ef2df9dd3383c4bb4cd2e0.html

https://wenku.baidu.com/view/f8b6c51c08a1284ac9504339.html