数理逻辑考试题目分析

数理逻辑考试

题目分析：

1. 逻辑推论

   1. 逻辑推论是基于语义的，所以需要进行赋值和解释
   2. 在证明的时候，要注意对赋值进行不同情况的讨论（0/1）
   3. 在证明逻辑等价和逻辑蕴涵时，逻辑等价的证明要证：对于任何真假赋值，都相当于同时对逻辑等价的两边进行相同的真假值指派。逻辑蕴含要证：任何赋值v，使得条件为真，则蕴涵结论为真。

2. 形式推演

   1. 注意，对于命题逻辑，只能使用11条规则 + 传递性 + 否定加规则（在考卷上再证明一次，并指明是书中的定理2.6.5(ii)）。对于一阶逻辑，则还再加上6条规则（其中全等的加减不常用，所以常常当成4条）
   2. ¬a⊢a→b 这个蛮好用的
   3. A(u)⊢∃xA(x) 蛮好用的
   4. ¬∃xA(x)⊢∀x¬A(x) 要记得

3. 逻辑表示

   1. 对于命题逻辑，则直接设即可，没什么难度
   2. 对于一阶逻辑，则需要仔细思考，因为涉及全称和存在
      
      1. 注意：percisely 表示当且仅当 ↔
      2. 在考试中不必过多纠结于论域的问题，只要表达清楚逻辑关系即可。但是在正确的逻辑表达中，需要比较严格的定义。

4. 有效性证明

   1. 有效性证明，比较难的就是先判断是否有效。
   2. 有效性是基于赋值的，所以它是语义层面的。
   3. 对于有效的证明，采用反证法。假设存在赋值v，使得公式=0，则推出一系列赋值。若 (∃xA(x))v=0,则令(∃)xA(x))(x|a)=0,则A(a)=0
   4. 对于无效的证明，用构造法即可。但要注意，在构造例子的时候，要注明论域和解释。解释可以直接是0，1之类的，论域可以是a，b。越简单越好。

知识体系构建

1. 了解逻辑体系：

   每种逻辑，都由三部分主要的知识组成：语言，语义和语法。

   • 语言：用来描述客观世界的符号。因为形式化了，所以通常都是一些字母，联结词和标点组成。数理逻辑中，语言是很简洁的，没有单词要背，也没有其他多余的东西。但是正因为抽象，所以理解起来可能一开始比较费力，但是熟悉了也还好。有一些默认的东西，比如p，q，r表示命题变元，A,B,C表示公式等，在各个逻辑体系中，都比较类似。
   • 语义：用来解释客观世界的现象。因为是解释，所以都是基于赋值的，因此我们在讨论语义的时候，都需要进行赋值。一般的赋值，是指真假（0/1）赋值。语义是在理解的基础上作出的，所以可能造成一些偏差，因为每个人理解不一样嘛，所以就需要有语法了。
   • 语法：用来做形式化的推演。既然语义容易产生歧义，那么语法就是用来做规范地、机械地进行推演。基本思想是，如果 (i)第一步推演是正确的。 (ii)第n步推演是正确的，那么如果第n+1步是由第n步得到，那么也是正确的。以此类推得到归纳。

   语法和语义，由完备性（语义解释得通，则一定有语法可以反映。换言之，语法一定能反映语义的意思）和可靠性（语义一定能够用语法的验证得到。换言之，语义的正确性可以由语法来保证）定理进行保证。这样我们在使用逻辑推论和形式推演的时候，就有了理论依据。

   既然提到了逻辑推论和形式推演，就说一下这两个。逻辑推论就是我们上面所说的语义，形式推演就是上面所说的语法。

2. 更深层的理解

   逻辑体系的思想，主要就是用高度抽象的符号和一些联结词，来包罗万象世间万物的规律。它有自己存在的独特魅力。当我们运用数理逻辑的思想来思考一些事的时候，就会得到一种神奇的视角。

   比如，宗教。宗教是对现实世界存在现象的解释。就好像一阶逻辑的“结构”，有论域，有解释。我们对想要论述的东西，统称为“论域”。在这个论域之中，我们开展了自己的“解释”。每一种解释，都是一个“可能世界”（possible world）于是有了佛教，基督教等，信奉各种神明，以此对发生的种种作出相应的解释。

   为了使它们合理化，于是需要用一些不同于日常语言的语言，于是我们把日常的语言称为“对象语言”，而用来讨论对象语言的，就比它们更高级，于是称为“元语言”。元语言总觉得高人一等，因为它凌驾于对象语言之上。比如对于每一个命题，比如 A→B 而言，我们对它进行形式推演，比如 ⊢ ，这个 ⊢ 就是对于 A→B 而言的元语言， A→B 是 ⊢ 的对象语言。这就仿佛佛祖在万里之上，讨论这我们所说的话，用的是佛祖自己的语言，他们的语言不同于地球上的任何语言。

   当然，比如在基督教中，每一个人对圣经都有不同的解读，每一句话都有不同的含义。但如果你定期出入一个教堂，牧师对这个进行解读，那么我们假设他的理论是至高无上的正确，是永远正确的，那就是“永真的”。当这个牧师某一天总结出了一些规则，是他觉得无论情况发生怎样的变化，都能作为真理去信奉的，于是他定下了这些规则，使得大家在以后的解读中，能够不这么迷茫。这就是语法，也就是形式推演，是为了避免歧义的存在。于是人们遵循着这些语法去进行解读和推理，得到的东西由于每一步的推理都是永真的（假设我们有善用牧师规定的规则，并且使用正确）那么最终的结论也就是真的。这就是形式推演的机械性和可计算性。这也是使得形式化验证能够得以用计算机机械地完成的理论依据。

   总结

   人类有太多的情感，分综复杂。一句话配合不同语气和不同重读，都会产生不同的含义。因此有了形式化的逻辑体系，删繁就简地把一切细枝末节统统删去，只留下最最主干的内容，这正是数理逻辑的魅力所在吧。

   因为简约，所以简单，所以纯粹。然而又因为简约，所以抽象，因此难以理解。但正如老师课上所说，逻辑是最好理解的东西，因为一目了然，因为它是一起的基本。你的思想要建立在逻辑之上，并且以逻辑的思维去看待世间万物，才是长久之道，才是数理逻辑的正确打开方式吧。

   ​

   ps. 附上一段最近很爱的《金刚经》中的一段：世间一切有为法，如梦幻泡影，如露亦如电，应作如是观。

先挖坑，有空再继续填。马上就考试了，考完之后把考题一并整理上来吧。搜了好久发现网上居然没有学长学姐整理数理逻辑考题，差评！之后把考题和命题逻辑、一阶逻辑的知识体系放上来，先挖坑。