答案_精确表达浮点数

分析与解法

拿到这样一个问题，我们往往会从最简单的情况入手，因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和，不妨只考虑大于0，小于1的纯小数，且暂时不考虑分子和分母的约分，先设法将其表示为分数形式，然后再进行约分。题目中输入的小数，要么为有限小数X=0.a₁a₂…a_n，要么为无限循环小数X=0.a₁a₂…a_n（b₁b₂…b_m），X表示式中的字母a₁a₂…a_n，b₁b₂…b_m都是0~9的数字，括号部分（b₁b₂…b_m）表示循环节，我们需要处理的就是以上两种情况。

对于有限小数X=0.a₁a₂…a_n来说，这个问题比较简单，X就等于（a₁a₂…a_n）/10ⁿ。

对于无限循环小数X=0.a₁a₂…a_n（b₁b₂…b_m）来说，其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分，我们可以做如下的转换：

X = 0.a₁a₂…a_n（b₁b₂…b_m）

10ⁿ* X= a₁a₂…a_n.（b₁b₂…b_m）

10ⁿ* X= a₁a₂…a_n+0.（b₁b₂…b_m）

X =（a₁a₂…a_n+0.（b₁b₂…b_m））/10ⁿ

对于整数部分a₁a₂…a_n，不需要做额外处理，只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分，可以采用如下方式进行处理：

令Y=0. b₁b₂…b_m，那么

   10^m *Y=b₁b₂…b_m.（b₁b₂…b_m）

10^m *Y=b₁b₂…b_m+0.（b₁b₂…b_m）

10^m *Y-Y=b₁b₂…b_m

Y= b₁b₂…b_m /（10^m-1）

将Y代入前面的X的等式可得：

X =（a₁a₂…a_n+Y）/10ⁿ

=（a₁a₂…a_n+ b₁b₂…b_m/（10^m-1））/10ⁿ

=（（a₁a₂…a_n）*（10^m-1）+ （b₁b₂…b_m））/（（10^m-1）*10ⁿ）

至此，便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示，但是此时分母未必是最简的，接下来的任务就是让分母最小，即对分子和分母进行约分，这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B，可以简化为（A /Gcd（A, B））/（B /Gcd（A, B）），其中Gcd函数为求A和B的最大公约数，这就涉及本书中的算法（2.7节“最大公约数问题”），其中有很巧妙的解法，请读者阅读具体的章节，这里就不再赘述。

综上所述，先求得小数的分数表示方式，再对其分子分母进行约分，便能够得到分母最小的分数表现形式。

例如，对于小数0.3（33），根据上述方法，可以转化为分数：

0.3（33）

=（3 *（10²-1）+ 33）/（（10²-1）*10）

=（3*99+33）/990

= 1 / 3

 

对于小数0. 285714（285714），我们也可以算出：

0. 285714（285714）

= （285714 *（10⁶-1） + 285714） / （（10⁶-1）*10⁶）

= （285714*999999 +285714） / 999999000000

= 285714 / 999999

= 2/7

 

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