[SDOI2017]硬币游戏

题意

给你一个字符串集

构造一个 01 01 串 S, S , 每个位置等概率的插入 01 01

问字符串集中每个字符串最先出现在构造的串中的概率

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怎么感觉和 [JSOI2009] [ J S O I 2009 ] 有趣的游戏“一模一样”

写完交一发只有 40ptsTLE, 40 p t s T L E , 原来这题是 [JSOI2009] [ J S O I 2009 ] 有趣的游戏数据范围的加强版

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题解

TLE T L E 原因在于方程个数的 nm n m 的,这样显然是不行的

考虑到合法状态其实只有 n n 个 , , 其余的状态可以合并成一个状态——”不合法的状态”

如果能这样列出方程 , , 那么复杂度就是 O(n3) O ( n 3 ) 是可以接受的

设 S S 为一种不合法的状态(即没人赢) ,A=101,B=110 , A = 101 , B = 110

引理:构造出一个长的 l l 特定 01 01 串的概率是 12l 1 2 l

到 S+101 S + 101 状态一定会停止游戏,但不一定要等到 101 101 加完才停止

如果 S S 的后缀是 1 1 或者 10 10 那么就会提前结束

也就是说可能会有这些情况

S101=(S+A)+(S′+A+01)+(S′′+B+1) S 101 = ( S + A ) + ( S ′ + A + 01 ) + ( S ″ + B + 1 )

其中 S=S′+10=S′′+1 S = S ′ + 10 = S ″ + 1

根据上面的引理 , , 可以得到方程 18S=(1+14)A+12B 1 8 S = ( 1 + 1 4 ) A + 1 2 B

也就是说对与每一个 S+xi,len(xi)=m S + x i , l e n ( x i ) = m

如果 xj x j 存在长度为 a a 的后缀能匹配 xi x i 的前缀 , , 那么就有 12m−a 1 2 m − a 的概率提前结束

设 prea,xi p r e a , x i 表示 xi x i 长度为 a a 的前缀 , , 后缀同理

写成通式就是

xi+∑j=1n∑a=1m[prea,xi=sufa,xj]12m−axj=12mS x i + ∑ j = 1 n ∑ a = 1 m [ p r e a , x i = s u f a , x j ] 1 2 m − a x j = 1 2 m S

这样我们就只有 n+1 n + 1 个方程了

最后再把其中一个方程替换为 ∑xi=1 ∑ x i = 1

至于如何快速匹配前缀和后缀可以根据套路使用字符串哈希

#include
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(register int i=fi[u],v=e[i].to;i;v=e[i=e[i].nx].to)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
const int N=305,sed=time(0),S=(1<<30)-1;
const double eps=1e-10,P=0.5;
typedef int arr[N];
typedef double db;
int n,m;arr pw,pre[N],suf[N];db p[N],ans[N],G[N][N];char s[N];
inline int cmp(const db x){return fabs(x)0:x<0?-1:1;}
inline void Gauss(int n){
    db t;int mx;
    fp(i,1,n){mx=i;
        fp(j,i,n)if(cmp(G[mx][i]-G[j][i]))mx=j;
        if(mx^i)swap(G[mx],G[i]);
        fp(j,i+1,n)if(cmp(G[j][i])){
            t=G[j][i]/G[i][i];
            fp(k,i,n+1)G[j][k]-=G[i][k]*t;
        }
    }
    fd(i,n,1){
        fp(j,i+1,n)G[i][n+1]-=G[i][j]*ans[j];
        ans[i]=G[i][n+1]/G[i][i];
    }
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        file("s");
    #endif
    scanf("%d%d",&n,&m);
    p[0]=pw[0]=1;
    fp(i,1,m)pw[i]=pw[i-1]*sed&S,p[i]=p[i-1]*P;
    fp(i,1,n){
        scanf("%s",s+1);
        fp(j,1,m)pre[i][j]=(pre[i][j-1]+s[j]*pw[j])&S;
        fp(j,1,m)suf[i][j]=(suf[i][j-1]+s[m-j+1])*sed&S;
    }
    fp(i,1,n)fp(j,1,n)fp(k,1,m)
        if(pre[i][k]==suf[j][k])
            G[i][j]+=p[m-k];
    fp(i,1,n)G[i][n+1]=-p[m],G[n+1][i]=1;G[n+1][n+2]=1;
    Gauss(n+1);
    fp(i,1,n)printf("%.10lf\n",ans[i]);
return 0;
}

当然如果你觉得慢的话我也可以用 AC A C 自动机来求匹配

这个嘛 , , 怎么开心怎么玩是把

#include
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(register int i=fi[u],v=e[i].to;i;v=e[i=e[i].nx].to)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
const int N=305,M=1e5+5;
const double eps=1e-10,P=0.5;
typedef int arr[M];
typedef double db;
struct eg{int nx,to;}e[M];
int n,m,ce,Cnt,ch[M][2];arr fi,mx,pos,fail;db p[N],ans[N],G[N][N];char s[N];
inline void add(int u,int v){static int ce=0;e[++ce]={fi[u],v},fi[u]=ce;}
#define v (ch[u][i])
inline void ins(int p){
    scanf("%s",s+1);int u=0,i;
    fp(j,1,m)i=s[j]=='H',mx[!v?v=++Cnt:v]=mx[u]+1,add(u=v,p);
    pos[p]=u;
}
inline void gf(){
    static int q[M];int h=1,t=0,u=0,i;
    fp(i,0,1)if(v)q[++t]=v;
    while(h<=t)for(u=q[h++],i=0;i<2;++i)v?fail[q[++t]=v]=ch[fail[u]][i]:v=ch[fail[u]][i];
}
#undef v
inline void calc(int x){
    for(int u=pos[x];u;u=fail[u])
        go(u)G[v][x]+=p[m-mx[u]];
}
inline int cmp(const db x){return fabs(x)0:x<0?-1:1;}
inline void Gauss(int n){
    db t;int mx;
    fp(i,1,n){mx=i;
        fp(j,i,n)if(cmp(G[mx][i]-G[j][i]))mx=j;
        if(mx^i)swap(G[mx],G[i]);
        fp(j,i+1,n)if(cmp(G[j][i])){
            t=G[j][i]/G[i][i];
            fp(k,i,n+1)G[j][k]-=G[i][k]*t;
        }
    }
    fd(i,n,1){
        fp(j,i+1,n)G[i][n+1]-=G[i][j]*ans[j];
        ans[i]=G[i][n+1]/G[i][i];
    }
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        file("s");
    #endif
    scanf("%d%d",&n,&m);
    p[0]=1;fp(i,1,m)p[i]=p[i-1]*P;
    fp(i,1,n)ins(i);gf();
    fp(i,1,n)calc(i);
    fp(i,1,n)G[i][n+1]=-p[m],G[n+1][i]=1;G[n+1][n+2]=1;
    Gauss(n+1);
    fp(i,1,n)printf("%.10lf\n",ans[i]);
return 0;
}