哈夫曼树与哈夫曼编码

在一般的数据结构的书中,树的那章后面,著者一般都会介绍一下哈夫曼(HUFFMAN)

树和哈夫曼编码。哈夫曼编码是哈夫曼树的一个应用。哈夫曼编码应用广泛,如

JPEG中就应用了哈夫曼编码。 首先介绍什么是哈夫曼树。哈夫曼树又称最优二叉树,

是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度,就是树中所有的叶结点

的权值乘上其到根结点的 路径长度(若根结点为0层,叶结点到根结点的路径长度

为叶结点的层数)。树的带权路径长度记为WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)

,N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树,相应的叶结点的路径

长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

哈夫曼编码步骤:

一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点,它的左右子树均为空。(为方便在计算机上实现算 法,一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。)
二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树,新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
三、从F中删除这两棵树,并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。
四、重复二和三两步,直到集合F中只有一棵二叉树为止。

简易的理解就是,假如我有A,B,C,D,E五个字符,出现的频率(即权值)分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树,即取1,2构成新树,其结点为1+2=3,如图:

哈夫曼树与哈夫曼编码_第1张图片

虚线为新生成的结点,第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中,所以集合变成{5,4,3,3},再根据第二步,取最小的两个权值构成新树,如图:

哈夫曼树与哈夫曼编码_第2张图片

再依次建立哈夫曼树,如下图:

哈夫曼树与哈夫曼编码_第3张图片

其中各个权值替换对应的字符即为下图:

哈夫曼树与哈夫曼编码_第4张图片

所以各字符对应的编码为:A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

霍夫曼编码是一种无前缀编码。解码时不会混淆。其主要应用在数据压缩,加密解密等场合。

 

C语言代码实现:

/*-------------------------------------------------------------------------
 * Name:   哈夫曼编码源代码。
 * Date:   2011.04.16
 * Author: Jeffrey Hill+Jezze(解码部分)
 * 在 Win-TC 下测试通过
 * 实现过程:着先通过 HuffmanTree() 函数构造哈夫曼树,然后在主函数 main()中
 *           自底向上开始(也就是从数组序号为零的结点开始)向上层层判断,若在
 *           父结点左侧,则置码为 0,若在右侧,则置码为 1。最后输出生成的编码。
 *------------------------------------------------------------------------*/
#include 
#include
 
#define MAXBIT      100
#define MAXVALUE  10000
#define MAXLEAF     30
#define MAXNODE    MAXLEAF*2 -1
 
typedef struct 
{
    int bit[MAXBIT];
    int start;
} HCodeType;        /* 编码结构体 */
typedef struct
{
    int weight;
    int parent;
    int lchild;
    int rchild;
    int value;
} HNodeType;        /* 结点结构体 */
 
/* 构造一颗哈夫曼树 */
void HuffmanTree (HNodeType HuffNode[MAXNODE],  int n)
{ 
    /* i、j: 循环变量,m1、m2:构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点的权值,
        x1、x2:构造哈夫曼树不同过程中两个最小权值结点在数组中的序号。*/
    int i, j, m1, m2, x1, x2;
    /* 初始化存放哈夫曼树数组 HuffNode[] 中的结点 */
    for (i=0; i<2*n-1; i++)
    {
        HuffNode[i].weight = 0;//权值 
        HuffNode[i].parent =-1;
        HuffNode[i].lchild =-1;
        HuffNode[i].rchild =-1;
        HuffNode[i].value=i; //实际值,可根据情况替换为字母  
    } /* end for */
 
    /* 输入 n 个叶子结点的权值 */
    for (i=0; i


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