【URAL 1776】Anniversary Firework（概率DP）

【URAL 1776】Anniversary Firework（概率DP）

题目大意：
n个火箭(3 <= n <= 4)排成一排，第一次点燃第一个和最后一个，之后每次在所有相邻的已点燃的火箭之间等概率点燃某一个火箭。每两次点燃间需间隔10s，每次点燃中的几只火箭当做同时刻点燃。问需要的总间隔时间的期望。

一开始的思路完全偏离……考虑的区间DP.. dp[i][j] 表示点燃i~j的火箭的等待时间的期望。但期望是要累加而不是取最值，所以区间DP完全错误……（虽然到现在我还不自觉的感觉它是对的。。。。

正解是考虑dp[i][j]为点燃连续的i个火箭，用了 ≤j 次的概率。

这样转移其实就是
dp[i][j]=dp[i][j−1]+∑1≤k≤i(dp[k−1][j−1]∗dp[i−k][j−1]−dp[k−1][j−2]∗dp[i−k][j−2])/(i)
用到了概率论，即枚举当前i个火箭的状态下，点燃第k个火箭，最后点燃完i个火箭用了 ≤j 次的概率。
≤j 次的好处就在这里， dp[k−1][j−1]∗dp[i−k][j−1]−dp[k−1][j−2]∗dp[i−k][j−2] 就可以表示点燃完k左边的以及k右边的火箭，最终等待了j-1次的概率。也就是左右有一边是j-1次，另一边 ≤j−1 次的概率。

然后累积以下点燃n-2个火箭的期望即可

代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define LL long long
#define Pr pair
#define fread(ch) freopen(ch,"r",stdin)
#define fwrite(ch) freopen(ch,"w",stdout)

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9+7;
const double eps = 1e-8;
const int maxn = 444;

double dp[maxn][maxn];

int main()
{
    //fread("");
    //fwrite("");

    int n;

    scanf("%d",&n);
    n -= 2;

    for(int i = 0; i <= n; ++i) for(int j = i; j <= n; ++j) dp[i][j] = 1;

    for(int len = 2; len <= n; ++len)
    {
        double b = len;

        for(int j = 2; j <= len; ++j)
        {
            dp[len][j] = dp[len][j-1];
            for(int k = 1; k <= len; ++k)
            {
                dp[len][j] += (dp[len-k][j-1]*dp[k-1][j-1]-dp[len-k][j-2]*dp[k-1][j-2])/b;
            }
            //printf("num:%d cnt:%d %f\n",len,j,dp[len][j]);
        }

    }

    double ans = 0;

    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        ans = ans+(dp[n][i]-dp[n][i-1])*i*10;

    printf("%.11f\n",ans);

    return 0;
}