洛谷P1846 游戏-DP

传送门

题意：

给定两个正整数数列，你要用它们来做一个游戏：你需要对数列进行若干次操作，每一次操作，应选择两个正整数 k1 k 1 和 k2 k 2 ，并删除第一个数列的最后 k1 k 1 个数，计算出它们的和 s1 s 1 ；删除第二个数列的最后 k2 k 2 个数，计算出它们的和 s2 s 2 。这一次操作的得分就是 (s2−k2)∗(s1−k1) ( s 2 − k 2 ) ∗ ( s 1 − k 1 ) 。两个数列应同时被清空，不允许一个数列空了，而另一个数列中还有数。游戏的总得分就是每一次操作的得分总和。

求最小的总得分。

Solution:

首先我们把两个数列的权值-1，这样每次操作的得分就转换为了 s1∗s2 s 1 ∗ s 2

探索一波题目性质：对于连续的两次操作 a1∗a2 a 1 ∗ a 2 ， b1∗b2 b 1 ∗ b 2 ，如果我们合并他们，那么他们的权值变为 (a1+b1)∗(a2+b2) ( a 1 + b 1 ) ∗ ( a 2 + b 2 )

显然合并后的值是劣于合并前的，所以我们需要使我们操作的次数尽可能多，因为两个数列的长度不一样，所以我们每次操作一定会是一个数列选一个，另一个数列选一个或多个

然后就可以dp啦： f[i][j] f [ i ] [ j ] 表示第一个数列已经拿了i个数，第二个数列已经拿了j个数的方案数

转移即为 f[i][j]=min(f[i−1][j−1],f[i][j−1],f[i−1][j])+a[i]∗b[j] f [ i ] [ j ] = m i n ( f [ i − 1 ] [ j − 1 ] , f [ i ] [ j − 1 ] , f [ i − 1 ] [ j ] ) + a [ i ] ∗ b [ j ]

f[i][j−1] f [ i ] [ j − 1 ] 和 f[i−1][j] f [ i − 1 ] [ j ] 表示“选择多个数”

这种看起来难以处理的题，一般都会有一个性质，探索出性质后题目就会变得很简单了

代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m;
int a[2010],b[2010];
long long f[2010][2010];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a[i]--;
    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&b[i]),b[i]--;
    memset(f,63,sizeof(f));
    f[0][0]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            f[i][j]=min(f[i][j],min(f[i][j-1],min(f[i-1][j],f[i-1][j-1]))+a[i]*b[j]);
    printf("%lld",f[n][m]);
}