【专题小结】数据结构

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可持久化线段树

动态树相关

动态树东西很多，说白了也就LCT,ETT,Top-tree.
今天只学了这三种的思想，具体实现还得好好打。

LCT–Link-Cut-Tree

LCT的大致思想是，动态维护树链剖分。
树链剖分中，我们有重边和轻边，重链上DFS序是连续的一段，任意一个点到根的路径上会经过不超过logn条轻边。可以通过线段树等数据结构维护重链的信息，由于只有logn条轻边，我们一共只需要logn次查询，每次查询复杂度也为logn，总复杂度logn*logn。
那么动态的呢？
LCT的核心操作 access(x) 表示把x到根的路径设置为重链，每条重链的信息用splay来维护，每个spaly存这个重链的序列，中序遍历即为从浅到深。合并的时候把儿子的splay从右边插入父亲的splay，维护好这个中序=深度的性质。同样的，x在到根的路径上，均摊经过的轻边数量也是logn级别的。在路径上可能涉及轻重边的变换，如本来是重边的现在变成轻边，只需要把这个重链的splay给split成两个部分就好；本来是轻边的现在连接上了某一个重链，把这条轻边连接的两个splay合并就好。此处为意识流，自己看得懂就行，实在不行找论文研究把。注意access操作要把这个点的其他边全部变成轻边。

旋根（换根） 先access(x)，然后把这个splay
整个翻转一下【原来深的(x)变成了深度最浅的】由于这个splay最浅的深度就是根，换根就完成了。
Link(x,y) access(x), Fa[x]=y;
Cut(x,y) 其中y为较浅的点 access(y)，然后直接Fa[x]=x就好。
FindRoot 随便access一个点，再在splay上找深度最小的点就好

基本操作就这么多

前方高能

我们随便想几道题，我们就可以发现基于链的操作很简单，LCT硬上就可以了，打不打得出来那就是你问题了。

那么来道有难度的
wengwentao1：
给你一个根为1的树，让你支持加边、删边、查询某一个子树的size。

此处要维护子树信息
怎么搞？我们貌似只学过链。
我们观察，虚边实边（轻边重边）相对关系是不变的。在access操作中，只有少数的虚边变成了实边，相应的实边变成了虚边，整体树的形态是不变的。哪怕是Link-Cut也只是少部分改变了树的形态，总而言之轻边的信息我们完全可以维护一下。
我们对每个点算出其虚边儿子的size的和，我们称这个值为t_size，在重链上维护t_size的和，在虚实变换的时候，如图

一开始u,v为虚边，v,w为实边
然后虚实交换。在这个过程中，把v和w变成虚边。
也就是会把v的t_size += （w在splay上的t_size和+w所在的splay的大小）
然后把v和u变成实边，也就是会把v的t_size -= (u所在的splay的大小+u所在splay的大小)
然后把v,w给split开，把u,v给merge
于是完成了信息的维护。
想查询的话，直接access然后查询该点的值就好了。

是不是很神奇？

Top-tree

好，上面只需要子树的信息。
我们对虚边的信息都用一个int存下来。
如果我们要对虚数打标记呢？总不能每个虚儿子都遍历一次吧？太慢
我们需要知道所有的虚儿子，然后统一打标记。
于是我们每个节点就再用一个splay存它的虚儿子有哪些。
换言之就是把LCT维护的int替换成了splay。
同理只有在虚实变换的时候信息会改变，比较多细节好好讨论一下。
我把它叫做splay套splay！

这是Top-tree的一种打法
还有一种使用inner来解决问题，通过建立无用白点，从而把一棵树深度增大，树中每个点的儿子数不超过3。这样维护也比较简单，就是白点建立过于繁琐【加入的时候要讨论，删除的时候要讨论】，具体实现不知道怎么打，看论文吧。暂时先搁着。

ETT

DFS序听过吗？老朋友了。
括号序列听过吗？一对括号囊括的整个区间就是一个子树。
欧拉序听过吗？相同两个序号x之间夹着的就是x的某一个儿子的子树
也就是说，儿子的子树是一个欧拉序列括起来的。一个点儿子的子树我们可以通过把这段欧拉序列截取出来得到。

图中是一种形式的欧拉序，可见两个1之间夹着的就是2这个子树。
观察这个序列实际产生方式，其实就是一个环。这意味着每一段欧拉序如果能表示某个儿子【某颗子树】，它就是一个环。
那么我们用splay来维护欧拉序，Link、Cut都是把欧拉序的一段剪切到另外一段上【注意此处只能把一整颗子树给挪走，不能改变树的形态。不然欧拉序就会改变，信息就会出错】，对子树操作就是对欧拉序的一段打标记。注意信息的存储方式即可。
ETT十分完美地解决了子树信息的问题，但是不支持换根。

LCT+ETT

我们看Top-Tree太难打啦！
我们想给子树打标记，如果我们不用换根的话，我们会想到ETT，但是ETT不支持链操作。
如果我们硬是要链上乱搞，我们就结合一下LCT吧！
太过复杂而且没啥卵用，一时间没法理解，先搁着以后填坑。