【WinterCamp 2013】楼房重建 && 【NOIP2017提高A组模拟10.8】God Knows

感谢czy的题解。

这两题是类似的。

转换以后都是这样的：
有一个序列a[1..n],每次询问对a[i-j]之间的元素做一个（递增或递减）单调栈，求单调栈里有多少个元素，或者是还有b[1..n],求做了单调栈以后，单调栈里的元素对应的b的极值。
有修改，为单点修改。

做法其实本质是利用线段树的分治思想。

假设建的是递减的单调栈，求单调栈里元素的个数。

设query(l,r,p)表示在a[l..r]所形成的单调栈的栈顶再加入一个p，剩余元素的个数。

l=r,显然有query(l,r,p) = [a[l] >ｐ]

如果l不等于r,设m=（l+r）/2

rmx 为max(a[m+1..r])

如果p>=rmx，则右区间的单调栈会弹到空，然后把p加入左区间的单调栈里。
即query(l,r,p)=query(l,m,p)

否则, p<rmx ,则右区间的栈不会被清空，这相当于把rmx加入左区间的栈里，p加入右区间的栈里的总和。
即query(l,r,p)=query(l,m,rmx)+query(m+1,r,p)

这样递归下去的复杂度是不能保证的。

但是你发现query(l,m,rmx)和p是没有半毛钱关系的，这启发着你这接把它记录下来，设 fxi 表示这个东西，i是当前区间在线段树上的编号。

这整个过程其实是套在线段树上的，你查询一个区间，它会下放的到log个完整区间，到了完整区间以后，rmx就可以O(1)知道，又最多再下去log层，所以这里的复杂度是log^2

在下放到完整区间以前，rmx需要通过线段树查询，而最多查询log次，这里也是log^2

此时需要考虑fx的维护，由于是单点修改，最多涉及到log个区间，每个区间的fx用query暴力求，也只是log的，所以这一部分也是log^2。

因此总复杂度 O（m (log n)2) ，m是修改数和查询数的总和。注意单独查询一个完整区间的复杂度只有一个log.

Code(楼房重建):

#include 
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
using namespace std;

struct P {
    int x, y;
    P() {};
    P(int x_, int y_) {x = x_, y = y_;}
};

bool operator >(P a, P b) {return (ll)a.x * b.y > (ll)a.y * b.x;}
bool operator >=(P a, P b) {return (ll)a.x * b.y >= (ll)a.y * b.x;}

const int N = 1e5 + 5;

int n, m, x, y, b[N]; P a[N];
int fx[N * 10]; P t[N * 10];

int query(int i, int x, int y, P p) {
    if(x == y) return a[x] > p;
    int m = x + y >> 1;
    return p >= t[i + i] ? query(i + i + 1, m + 1, y, p) : fx[i] + query(i + i, x, m, p);
}

void chan(int i, int x, int y, int l, int c) {
    if(x == y) {t[i] = a[x]; fx[i] = 1;return;}
    int m = x + y >> 1;
    if(l <= m) chan(i + i, x, m, l, c); else chan(i + i + 1, m + 1, y, l, c);
    t[i] = max(t[i + i], t[i + i + 1]);
    fx[i] = query(i + i + 1, m + 1, y, t[i + i]);
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    fo(i, 1, n) a[i].x = 0, a[i].y = 1;
    fo(i, 1, n) chan(1, 1, n, i, 0);
    fo(i, 1, m) {
        scanf("%d %d", &x, &y);
        a[x].x = y; a[x].y = x;
        chan(1, 1, n, x, y);
        printf("%d\n", query(1, 1, n, P(0, 1)));
    }
}

Code(God Knows):

#include
#include
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i --)
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;

int n, p[N], t[N * 10];
int f[N], fx[N * 10], c[N];

int find_max(int i, int x, int y, int l, int r) {
    if(x == l && y == r) return t[i];
    int m = (x + y) / 2;
    if(r <= m) return find_max(i + i, x, m, l, r);
    if(l > m) return find_max(i + i + 1, m + 1, y, l, r);
    int p = find_max(i + i, x, m, l, m), q = find_max(i + i + 1, m + 1, y, m + 1, r);
    return max(p, q);
}

int query(int i, int x, int y, int l, int r, int q) {
    int m = (x + y) / 2;
    if(x == y) return q < t[i] ? fx[i] : 2e9;
    if(r <= m) return query(i + i, x, m, l, r, q);
    if(l > m) return query(i + i + 1, m + 1, y, l, r, q);
    if(x == l && y == r) {
        int rmx = t[i + i + 1];
        if(rmx > q) {
            int v = query(i + i + 1, m + 1, y, m + 1, r, q);
            return min(fx[i], v);
        } else return query(i + i, x, m, l, m, q);
    }
    int rmx = find_max(i + i + 1, m + 1, y, m + 1, r);
    if(rmx > q) {
        int v = query(i + i + 1, m + 1, y, m + 1, r, q), u = query(i + i, x, m, l, m, rmx);
        return min(u, v);
    } else return query(i + i, x, m, l, m, q);
}

void read(int &x) {
    char c = ' '; for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar());
    x = 0; for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = x * 10 + c - 48;
}

void chan(int i, int x, int y, int l, int f, int c) {
    if(x == y) {
        t[i] = c; fx[i] = f;
        return;
    }
    int m = x + y >> 1;
    if(l <= m) chan(i + i, x, m, l, f, c); else chan(i + i + 1, m + 1, y, l, f, c);
    fx[i] = query(i + i, x, m, x, m, t[i + i + 1]);
    t[i] = max(t[i + i], t[i + i + 1]);
}

int main() {
    freopen("knows.in", "r", stdin);
    freopen("knows.out", "w", stdout);
    scanf("%d", &n);
    fo(i, 1, n) read(p[i]);
    fo(i, 1, n) read(c[i]);
    memset(fx, 127, sizeof(fx));
    int mi = 1e9;
    fo(i, 1, n) {
        if(p[i] < mi) {
            mi = p[i];
            f[i] = 0;
        } else f[i] = query(1, 1, n, 1, p[i] - 1, 0);
        f[i] += c[i];
        chan(1, 1, n, p[i], f[i], i);
    }
    int mx = 0, ans = 1e9;
    fd(i, n, 1) {
        if(p[i] > mx) {
            mx = p[i];
            ans = min(ans, f[i]);
        }
    }
    printf("%d", ans);
}