算法技巧：异或性质

位运算的性质与应用

异或运算 ＾

有人叫半加、数学系的叫按位模2加。

下文用得到的一些简单的性质：

• x^0 = x 且 x^x = 0

• 交换律：x^y = y^x

• 结合律：(x^y)^z = x^(y^z)

• 自反性：x^y^y = x

下面是几个小题目，可以用异或解决，很有技巧性。

交换两个数ab

int a;
int b;
a = a ^ b
b = a ^ b
a = a ^ b

 

A集合里拿掉数x得到B集合，求x

令XOR(X)表示将X集合内所有的数做异或

XOR(B)^XOR(A) = XOR(B)^XOR(B)^x = 0^x = x

A集合里拿掉数x、y得到B集合，求x和y

首先按上一个的办法可以推导出xor(A)^xor(B) = xor(B)^xor(B)^x^y = 0^x^y = x^y。

x^y的二进制结果，第n位为1，说明x和y的第n位不相同。

根据第n位是否为0把A里所有的数分成A1和A0两个数组（A1里的数的二进制第n位都是1，A0都是0）。

A1和A0应该各包含了a或者b（这样第n位才能异或出1）。同理可以把B分成B1和B0两个数组。

可以得到第一个数 x = A1^B1，第二个数可以y = A0^B0，当然也可以用x^y^x求得。

另外如果x^y为0，即x == y，令SUM(X)为X集合内所有数求和(SUM(A) - SUM(B)) / 2 = x。

集合A里只有数x出现1次，其余数全都重复出现2次，求x

xor(A) = x^y^y^…^z^z = x^(y^y^…^z^z) = x^0 = x

集合A里只有数x出现1次，其余数全都重复出现3次，求x

xor的本质相当于“按位模2加”（adding modulo 2），令p1,p2…pn为布尔值，true为1、false为0，(+)表示异或操作。

p1 (+) p2 (+) ... (+) pn == ( p1 + p2 + ... + pn ) % 2

所以只需要实现按位模3加( p1 + p2 + ... + pn ) % 3，将集合中所有数二进制表示的同一位的0或1相加，最终的和对3去摸，得到的数即是x。

如 A = {5, 7, 7, 7}，二进制表示两个数

  101
  111
  111
+ 111
------
  434
%   3
------
  101

 

没有^操作时候实现异或，只用&与 |或 ~非

这里的转换有很多，比如下面这个

x ^ y == (~x & y) | (x & ~y)