关于二分图最大匹配等于最小点覆盖的证明

假设一个二分图给出了最大匹配数为M,那个M条边都是独立的(在X,Y集合都没有交点) ,

结论1.覆盖M条独立边至少需要M个覆盖点

结论2.图中所有的边都能被最大匹配的边的点所覆盖(如果有边没被最大匹配边的点所覆盖的话,那么肯定就不是最大匹配啦)

结论3.最大匹配的一条边只对应一个覆盖点

如果最大匹配的一条边选了2个未覆盖点 那么只有这种一种情况

关于二分图最大匹配等于最小点覆盖的证明_第1张图片

 红色边代表最大匹配,2-5选了两个未覆盖点,说明不是最大匹配,因为可以选1-5,2-7



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综上所述

由结论3得,最大匹配M条边中各选了一个覆盖点,这M个覆盖点覆盖了最大匹配边,综合结论2,图中非匹配边也能被最大匹配边的覆盖点所覆盖,

再结合结论1,至少需要M个覆盖点。

所以M个覆盖点就是最小的点覆盖

也就是说   二分图最大匹配等于最小点覆盖



讲得有误的话,求指正。

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