最小费用最大流——EK & zkw费用流
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来糊一篇博客……顺便可以记记模板啥的……
废话不多说直接进入正题……
Edmonds-Karp
前置芝士： S p f a Spfa Spfa
核心思想算是贪心吧……
每次跑一遍 S p f a Spfa Spfa，以边的费用跑一遍最短路，这样可以确保找到一条费用最小的路径，然后在跑的过程中计算出流量并记录路径，然后把路径上的边的流量都减掉就行了
模板如下（使用链式前向星存图）
变量解释： d i s dis dis为最短距离， f f f为最大流， f r fr fr为路径， f l o w flow flow为边费用， w w w为边流量
bool Spfa()//以费用为长度跑最短路
{
memset(dis,60,sizeof(dis));
memset(inq,0,sizeof(inq));
q.push(S);
dis[S]=0;
inq[S]=1;
f[S]=inf;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
inq[u]=0;
for(int i=fst[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(dis[v]>dis[u]+flow[i] && w[i])
{
dis[v]=dis[u]+flow[i];
f[v]=min(f[u],w[i]);//记录最大流
fr[v]=i;//记录路径
if(!inq[v])
{
q.push(v);
inq[v]=1;
}
}
}
}
return dis[T]!=inf;
}
void ModifyFlow()//跑完之后处理路径
{
int u=T;
while(u!=S)
{
int id=fr[u];
w[id]-=f[T];
w[id^1]+=f[T];//网络流常用操作
u=to[id^1];
}
ans+=f[T]*dis[T];
}
void MCMF()
{
while(Spfa()) ModifyFlow();//跑到无法到达汇点为止
}
zkw费用流
前置芝士： S p f a Spfa Spfa（最好是 S L F SLF SLF_ S p f a Spfa Spfa）， D i n i c Dinic Dinic
个人感觉 z k w zkw zkw大爷的这个方法和 D i n i c Dinic Dinic很相似啊……
先%%% z k w zkw zkw大爷
然后开始讲（瞎）吧（BB）
先从汇点跑 S p f a Spfa Spfa，预处理出到每个位置的最短距离（这里用了 S L F SLF SLF优化），然后跑 D i n i c Dinic Dinic找增广路，跑最大流，用最大流乘上距离，一直跑直到满流即可
（ D i n i c Dinic Dinic还能加弧优化！）
至于为什么这个方法快……我一时半会儿也想不到……
总之%%% z k w zkw zkw大爷肯定没错辣
模板如下（使用链式前向星存图，变量命名规则与上方一致）
bool Spfa()//SLF_Spfa
{
memset(dis,60,sizeof(dis));
memset(inq,0,sizeof(dis));
q.push_front(T);
dis[T]=0;
inq[T]=1;
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop_front();
inq[u]=0;
for(int i=fst[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(dis[v]>dis[u]-flow[i] && w[i^1])//因为是反过来跑的，所以费用是减，w数组的下标也要^1
{
dis[v]=dis[u]-flow[i];
if(!inq[v])
{
if(!q.empty() && dis[v]<dis[q.front()]) q.push_front(v);
else q.push_back(v);
inq[v]=1;
}
}
}
}
return dis[S]!=inf;
}
int Dfs(int u,int stream)//弧优化Dinic【伪】
{
vis[u]=1;
if(u==T || !stream) return stream;
int used=0;
for(int i=cur[u];i;i=nxt[i])
{
cur[u]=i;
int v=to[i];
if(dis[v]==dis[u]-flow[i] && w[i] && !vis[v])
{
int fl=Dfs(v,min(stream,w[i]));
if(fl)
{
used+=fl;
stream-=fl;
w[i]-=fl;
w[i^1]+=fl;
if(!stream) break;
}
}
}
return used;
}
void zkwMCMF()
{
while(Spfa())
{
vis[T]=1;
while(vis[T])//一直跑到满流
{
memcpy(cur,fst,sizeof(fst));
memset(vis,0,sizeof(vis));
ans+=dis[S]*Dfs(S,inf);
}
}
}
扩展：最大费用最大流
做法有两种……
做法一：从建图下手
最小费用最大流的建图是这样：
AddEdge(from,to,flow,cost);
AddEdge(to,from,0,-cost);
那我们就采用一种求最长路时会用的技巧，把费用变负，再直接跑即可
建图如下：
AddEdge(from,to,flow,-cost);
AddEdge(to,from,0,cost);
做法二：从函数下手
我们还可以使用另一种求最长路时的技巧，即改变 S p f a Spfa Spfa的松弛条件
（ i n f inf inf的值也要随之改变）
E K EK EK的一般写法：
memset(dis,60,sizeof(dis));
...
if(dis[v]>dis[u]+flow[i] && w[i])
...
改变松弛条件后：
memset(dis,-60,sizeof(dis));
...
if(dis[v]<dis[u]+flow[i] && w[i])
...
z k w zkw zkw费用流的一般写法：
memset(dis,60,sizeof(dis));
...
if(dis[v]>dis[u]-flow[i] && w[i^1])
...
改变松弛条件后：
memset(dis,-60,sizeof(dis));
...
if(dis[v]<dis[u]-flow[i] && w[i^1])
...
要改变的地方也仅有两处
欢迎找 B u g Bug Bug
F i n . Fin. Fin.