[2017湖南集训7-7]第一题 DP

考虑只有一位和为10，枚举是哪两个数和为10，剩下的先按和为9用问号补齐，其余的问号可以任何组合9。
设dp[i][x]为匹配完第i种对(0-9,1-8,2-7,3-6,4-5五种i)，用了x个括号的方案数,T[x]表示在组合10和补齐9的过程中已经用了多少个问号充当x。于是我们枚举另用k个问号充当第i种对，那么dp[i][j]=sigma{dp[i-1][last]*C（nq-last，k/2+T[i]）*C（nq-last-k/2-T[i]，k/2+T[9-i]）}(k<=j-T[i]-T[9-i])，其中last=j-k-T[i]-T[9-i]即原先已用的问号数，nq为总问号数，C为组合数。
但是还有一种情况，就是两个0可一起填在末尾（前导），也就是可以同时削去两个0，如果枚举消去的0的个数又退化会O(n^3)，但是我们发现初始状态只有dp[0][0]=1，其余都为0，我们只用枚举0的个数和9的个数，看是否合法，先把dp[1][ ]搞出来即可。

代码：

#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int num[10],cnt[10],numq,t1[10],t2[10];
ll c[1010][1010],dp[6][1010],ans=0;
void solve(int nq)
{
    int d=nq;
    for(int i=1;i<=8;i++)
    {
        if(t1[i]9-i])t2[i]+=(t1[9-i]-t1[i]);
        d-=t2[i];
    }
    d-=t2[9];
    if(d<0) return ;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=1; 
    for(int i=0;i<=d;i++)
        for(int j=0;j<=d-i;j++)
            if(i+t1[0]>=j+t1[9]&&(i+t1[0]-j-t1[9])%2==0)    
                dp[1][i+j+t2[9]]=(dp[1][i+j+t2[9]]+c[nq][i]*c[nq-i][j+t2[9]]%mod)%mod;
    for(int i=1;i<=4;i++)
        {   
            for(int j=t2[i]+t2[9-i];j<=nq;j++)
                for(int k=0;k<=j-t2[i]-t2[9-i];k+=2)
                    {
                        int last=j-k-t2[i]-t2[9-i];
                        dp[i+1][j]=(dp[i+1][j]+dp[i][last]*c[nq-last][k/2+t2[i]]%mod*c[nq-last-k/2-t2[i]][k/2+t2[9-i]]%mod)%mod;
                    }   
        }

    ans=(ans+dp[5][nq])%mod;    
}
void step1(int nq)
{
    for(int i=1;i<=5;i++)
    {
        int del=0;
        memcpy(t1,num,sizeof(num));
        memcpy(t2,cnt,sizeof(cnt));
        if(t1[i]==0) t2[i]++;else t1[i]--;
        if(t1[10-i]==0) t2[10-i]++; else t1[10-i]--;
        solve(nq);  
    }   
}
int main()
{
    freopen("diyiti.in","r",stdin);
    freopen("diyiti.out","w",stdout);
    char s[100100];
    scanf("%s",s);
    for(int i=0;i<=strlen(s)-1;i++)
        if(s[i]=='?') numq++;
        else num[s[i]-'0']++;
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=numq;i++)
        for(int j=0;j<=numq;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+((j==0)?0:c[i-1][j-1]))%mod; 
    step1(numq);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}