跟我刷线性代数考研题

跟我刷《线性代数》填空题、选择题,每天三道小题(填空或选择题)。夯实数学基础,攻>克考研线代部分12分小题。
题目取材于李永乐、王式安主编《数学基础过关660题》线性代数部分。

今日主题:数值型行列式计算

思路点拨

数值型行列式指的是行列式以元素条件给出,其元素既可以是已知数,也可以是字母。解数值型行列式的思路不外乎下面三种:

  • 利用行列式的性质作初等行(列)变换;
  • 按一行(列)展开;
  • 综合使用初等变换和按行(列)展开。

目标是将原行列式化为:上(下)三角形行列式、将为低阶(三阶或者二阶)、化为拉普拉斯公式形式 ∣ A 0 C B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \left| \begin{array}{cc} A & 0 \\ C & B \\ \end{array} \right|=|A||B| AC0B=AB

数值型行列式计算的训练中,要多多培养自己的观察能力,多总结解题经验,因为数值型行列式的数值当中一定隐含着某种特殊性,若能洞察到这种特殊性就能找到最简洁的计算方法,从而能节约时间。总的来说,是掌握下面的原则:(1)将无序变为有序,就是将看似没有规律的题目整理成有规律;(2)简单原则:降阶。

例题精讲

例1. A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] , A=\left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right], A=a11a21a31a12a22a32a13a23a33, ∣ A ∣ = m , |A|=m, A=m,

B = [ 2 a 11 2 a 21 2 a 31 a 13 a 23 a 33 a 11 − a 12 a 21 − a 22 a 31 − a 32 ] , B= \left[ \begin{array}{ccc} 2a_{11} & 2a_{21} & 2a_{31} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\ a_{11}-a_{12} & a_{21}-a_{22} & a_{31}-a_{32} \\ \end{array} \right], B=2a11a13a11a122a21a23a21a222a31a33a31a32,
∣ B ∣ = ( ) |B|=(\quad) B=()

( A )   m ( B ) − 8 m ( C )   2 m ( D ) − 2 m \begin{array}{ll} (A)\ m & \hspace{3cm}(B)-8m \\ (C)\ 2m & \hspace{3cm}(D)-2m \end{array} (A) m(C) 2m(B)8m(D)2m

解: 先化简 ∣ B ∣ |B| B:

∣ B ∣ = 2 ∣ a 11 a 21 a 31 a 13 a 23 a 33 a 11 − a 12 a 21 − a 22 a 31 − a 32 ∣ |B|= 2\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\ a_{11}-a_{12} & a_{21}-a_{22} & a_{31}-a_{32} \\ \end{array} \right| B=2a11a13a11a12a21a23a21a22a31a33a31a32
= − r 1 + r 3 2 ∣ a 11 a 21 a 31 a 13 a 23 a 33 − a 12 − a 22 − a 32 ∣ \overset{-r_1+r_3}{=} 2\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\ -a_{12} & -a_{22} & -a_{32} \\ \end{array} \right| =r1+r32a11a13a12a21a23a22a31a33a32
= r 2 ↔ r 3 2 ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ∣ \overset{r_2\leftrightarrow r3}{=} 2\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\ \end{array} \right| =r2r32a11a12a13a21a22a23a31a32a33

(看出与 ∣ A ∣ |A| A的转置关系了吗?)
= 2 ∣ A T ∣ = 2 m . =2|A^T|=2m. =2AT=2m.

两道练习

  1. 行列式 ∣ 2 1 1 1 4 0 1 1 6 2 0 2 8 3 3 0 ∣ = ( ) \left| \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & 0 & 2 \\ 8 & 3 & 3 & 0 \\ \end{array} \right| =(\quad) 2468102311031120=()

( A )   34 ( B ) − 34 ( C )   32 ( D ) − 32 \begin{array}{ll} (A)\ 34 & \hspace{6cm}(B)-34 \\ (C)\ 32 & \hspace{6cm}(D)-32 \end{array} (A) 34(C) 32(B)34(D)32

  1. 行列式 ∣ 0 0 a 0 b 0 0 0 0 c 0 d 0 0 e f ∣ = ‾ . \left| \begin{array}{cccc} 0 & 0 & a & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 & d \\ 0 & 0 & e & f \\ \end{array} \right| =\underline{\hspace{1.8cm}}. 0b0000c0a00e00df=.

练习提示

  1. 元素规律:每行的后三个元素分别有公因子1,1,2,3,于是可以用第一行的 − 1 , − 2 , − 3 -1,-2,-3 1,2,3倍分别加至第二、三、四行,从而将原行列式化为“箭形行列式。”答案为:B.

  2. 思路一:按第一行展开;思路二:交换二三行,化为 ∣ A 0 C B ∣ \left| \begin{array}{cc} A & 0 \\ C & B \\ \end{array} \right| AC0B形式;思路三:将第一行换至第三行,化为 ∣ A C 0 B ∣ \left| \begin{array}{cc} A & C \\ 0 & B \\ \end{array} \right| A0CB形式。答案为:abcf.

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跟我刷线性代数考研题_第1张图片

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