字符串模式匹配之KMP
1 场景
假设现在我们面临这样一个问题：有一个主串(文本串)S，和一个模式串P，现在要查找P在S中的位置，怎么查找呢？
2 暴力法
2.1 思想
如果使用暴力匹配的思路，并假设现在主串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置，则有：
- 如果匹配（即S[i] == P[j]），则i++，j++，继续匹配下一个字符；
- 如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - j + 1，j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯 ，j 被置为0。
2.2 代码
public static int violentMatch(String s, String p) {
int sLen = s.length();
int pLen = p.length();
int i = 0;//主串遍历指针
int j = 0;//模式串遍历指针
while (i < sLen && j < pLen) {
if (s.charAt(i) == p.charAt(j)) {//如果匹配，则i++，j++;
i++;
j++;
} else {//如果失配,令i = i - (j - 1)，j = 0;
i = i - j + 1;
j = 0;
}
}
//匹配成功，返回模式串p在文本串s中的位置，否则返回-1
if (j == pLen) return i - j;
else return -1;
}
2.3 举例
举个例子，如果给定文本串S=“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和模式串P=“ABCDABD”，现在要拿模式串P去跟文本串S匹配，整个过程如下所示：
3 KMP
3.1KMP匹配过程
3.1.1 匹配思想
下面先直接给出KMP的算法流程:假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置;
- 如果j == -1，或匹配成功（即S[i] == P[j]），令i++，j++，继续匹配下一个字符；
- 如果j != -1，且匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]；
下面是对上面思想的一些解释或者补充：
- 失配时，i不变，不回溯，下一个 j =next [ j ]；
- 失配时，相当于模式串右移 j - next [ j ] 位；
- j - next [ j ]可以解释为：已匹配字符数 - 失配字符的前一字符的最大长度值(后面会解释这个最大长度值)；
- j - next [ j ]还可以解释为：失配字符的位置 - 失配字符对应的next 值；
3.1.2 匹配代码
public static int kmpMatch(String s, String p) {
int i = 0;
int j = 0;
int sLen = s.length();
int pLen = p.length();
int [] next=new int[pLen];
getNext(p,next);//先求模式串p的next数组
while (i < sLen && j < pLen) {//KMP匹配过程
if (j == -1 || s.charAt(i) == p.charAt(j)) {//如果j == -1，或匹配成功，令i++，j++ ;
i++;
j++;
} else {//如果j != -1，且失配，则令 i 不变，j = next[j]不回溯
j = next[j];
}
}
if (j == pLen)
return i - j;
else
return -1;
}
3.1.3 失配时举例
- 继续2.3的例子来说，当S[10]跟P[6]匹配失败时，KMP不再是像暴力匹配那样简单的把模式串右移一位，而是执行这条指令：“如果j != -1，且匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]”，即j 从6变到next[6]=2，所以相当于模式串向右移动的位数为j - next[j]（j - next[j] = 6-2 = 4）；
- 向右移动4位后，S[10]跟P[2]继续匹配;为什么要右移4位呢？因右移4位后，模式串中又有个“AB”可以继续跟S[8]S[9]对应着，从而不用让i 回溯；减少没必要的比较；
这只是一个匹配失败时的举例，基于KMP的完整匹配过程会在后面给出。
3.2 最长公共前缀后缀的长度
3.2.1 定义
对于某一个字符串，它的前缀、后缀分别定义为：
- 前缀：不包含尾字符，必须包含首字符的连续子串；
- 后缀：不包含首字符，必须包含为字符的连续子串；
例如：给定字符串P “abcba”,P的前缀集合为{ a , ab , abc , abcb }，前缀集合为{ bcba , cba , ba , a } ；P的公共前缀后缀只有一个{ a },所以P的最长公共前缀后缀的长度为1；
3.2.1 求最长公共前缀后缀的长度
对于2.3中给的例子，模式串P=“ABCDABD”，其各个前子串的前缀后缀分别如下表格所示：
也就是说，模式串各个前子串对应的最长公共前缀后缀长度表为（下简称《最大长度表》）：
3.3 next数组
3.3.1 next数组的人工求法
next 数组的求法：最大长度表右移一位，next [0]赋值为-1；
对于2.3中给的例子，模式串P=“ABCDABD”,其最大长度表和next 数组表为：
3.3.2 next数组递推(动态规划)算法：
已知next [0, …, j]，如何求next [j + 1]呢？
首先j为0时， next [ j ] = -1；假设k= next [ j ]；然后执行下面递归过程：
- 当p[k] == p[j]或者 k为-1时，则next[ j + 1 ] = next [ j ] + 1 = k + 1；
- 当p[k] != p[j]且k不为-1时，k=next [k];
下面是一些补充或解释：
- 解释：
(1)已知k=next [ j ],所以在pj前存在p0 p1, …, pk-1 = pj-k, pj-k+1, …, pj-1;
(2)现在要求next [ j+1 ]，先判断pk?=pj；如果相等，那么pj+1前存在p0 p1, …, pk-1,pk = pj-k, pj-k+1, …, pj-1,pj长度为k+1的最大公共前缀后缀，所以next[ j + 1 ] = k + 1；
(3)如果pk!=pj，就去找一个长度更小的公共前缀后缀；递归比较pnext [k]?=pj,如果相等，则next[ j + 1 ] = k + 1 = next [ k ] + 1；否则继续让k=next [k]，然后比较pk!和pj；
-
至于为什么递归地令(下一个)k=next [k]就能够找到的长度更小的公共前缀后缀，我的理解是模式串的自我匹配；详情可以参考原文博客；
-
求next数组其实就是一个动态规划问题，dp方程为next[ j + 1 ] = next [ j ] + 1 ；
3.3.4 代码
public static void getNext(String p,int [] next){
int pLen = p.length();
int j = 0;
next[j] = -1;
int k = next[j];
while (j < pLen - 1) {
//p[k]表示前缀，p[j]表示后缀
if (k == -1 || p.charAt(j) == p.charAt(k)) {
next[++j] = ++k;
} else {
k = next[k];
}
}
}
用代码重新计算下“ABCDABD”的next 数组：
3.4 使用 next数组的KMP匹配完整过程举例
还是之前2.2的例子,文本串S=“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，模式串P=“ABCDABD”:
- 先求next数组,上一节已经求出；
- 最开始匹配时，P[0]跟S[0]匹配失败，所以执行“如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]”，所以j = -1，故转而执行“如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++”，得到i = 1，j = 0，即P[0]继续跟S[1]匹配；P[0]跟S[1]又失配，j再次等于-1，i、j继续自增，从而P[0]跟S[2]匹配
；P[0]跟S[2]失配后，P[0]又跟S[3]匹配；P[0]跟S[3]再失配，直到P[0]跟S[4]匹配成功，开始执行此条指令的后半段：“如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++”；
- P[1]跟S[5]匹配成功，P[2]跟S[6]也匹配成功, …，直到当匹配到P[6]处的字符D时失配（即S[10] != P[6]），由于P[6]处的D对应的next 值为2，所以下一步用P[2]处的字符C继续跟S[10]匹配，相当于向右移动：j - next[j] = 6 - 2 =4 位；
- 向右移动4位后，P[2]处的C再次失配，由于C对应的next值为0，所以下一步用P[0]处的字符继续跟S[10]匹配，相当于向右移动：j - next[j] = 2 - 0 = 2 位;
- 移动两位之后，A 跟空格不匹配，模式串后移1 位；
- P[6]处的D再次失配，因为P[6]对应的next值为2，故下一步用P[2]继续跟文本串匹配，相当于模式串向右移动 j - next[j] = 6 - 2 = 4 位;
- 匹配成功，过程结束；
3.5 next数组优化
3.5.1 存在问题
用之前的next 数组方法求模式串“abab”的next 数组，可得其next 数组为-1 0 0 1（0 0 1 2整体右移一位，初值赋为-1），当它跟下图中的文本串去匹配的时候，发现b跟c失配，于是模式串右移j - next[j] = 3 - 1 =2位。
右移2位后，b又跟c失配。事实上，因为在上一步的匹配中，已经得知p[3] = b，与s[3] = c失配，而右移两位之后，让p[ next[3] ] = p[1] = b 再跟s[3]匹配时，必然失配。问题出在哪呢？
问题出在：当出现p[j] = p[ next[j] ]时，这次比较是非必要的。为什么呢？理由是：当p[j] != s[i] 时，下次匹配必然是p[ next [j]] 跟s[i]匹配，如果p[j] = p[ next[j] ]，必然导致后一步匹配失败（因为p[j]已经跟s[i]失配，然后你还用跟p[j]等同的值p[next[j]]去跟s[i]匹配，很显然，必然失配），所以不能允许p[j] = p[ next[j ]]。如果出现了p[j] = p[ next[j] ]咋办呢？如果出现了，则需要再次递归，即令next[j] = next[ next[j] ]。
3.5.2 优化策略
优化策略：当出现p[j] = p[ next[j ]]时，再次递归，令next[j] = next[ next[j] ]；
ps:当然优化后，仍然可能会出p[j] = p[ next[j ]]=p[ next[ next[j ] ]]，我们可以再递归一次；当然满足这种这种场景的出现是小概率事件，也就没必要再递归一次了；
只要求出了原始next 数组，便可以根据原始next 数组快速求出优化后的next 数组。还是以abab为例，如下表格所示：
3.5.3 代码
public static void getNext(String p,int [] next){
int pLen = p.length();
int j = 0;
next[j] = -1;
int k = next[j];
while (j < pLen - 1) {
//p[k]表示前缀，p[j]表示后缀
if (k == -1 || p.charAt(j) == p.charAt(k)) {
//当p[k] == p[j]或者 k为-1时，则next[ j + 1 ] = next [ j ] + 1 = k + 1
++j;
++k;
if (p.charAt(j) == p.charAt(k)) {
//优化处理:当出现p[j] = p[next[j]]时，再次递归，k = next[k]；
next[j] = next[k];
}else {
next[j]= k;
}
} else {//当p[k] != p[j]且k不为-1时，k=next [k];
k = next[k];
}
}
}
4 时间复杂度
假设主串长度为n,模式串长度为m;
暴力法时间复杂度为O(m*n);
KMP算法求next数组时间复杂度为O(m),匹配过程时间复杂度为O(m),总的时间复杂度为O(m+n);
转自：从头到尾彻底理解KMP