一个简单的求Bell数的方法

前言

贝尔数大概大家都不陌生，但是怎么求却有许多种方式，有根据定义$O(n^2)$求的，有用$NTT$或者多项式求逆$O(nlogn)$的求法。这些做法都太垃圾了 这里给大家介绍一种$O(nlogn)$的做法。

正文

首先根据贝尔数的定义，有$$B_n=\sum _{m=0}^{n}S(n,m)$$其中$S(n,m)$是第二类斯特林数。
那么再由第二类斯特林数的展开式可得$$\begin{gathered} 原式=\sum _{m=0}^n\frac{1}{m!}\sum _{k=0}^m(-1{)}^{k}C(m,k)(m-k{)}^n \\ =\sum _{m=0}^n\sum _{k=0}^m\frac{(-1{)}^k}{k!}\frac{(m-k{)}^n}{(m-k)!} \end{gathered}$$
这样子，设$A_i=\frac{(-1{)}^i}{i!}$，$B_i=\frac{i^n}{i!}$，这样子就是$$原式=\sum _{m=0}^n\sum _{k=0}^m{A}_k{B}_{m-k}$$可以$NTT$，但是太麻烦，我们注意到对于$A_i$这一项，它只会与$B_0，B_1，B_2...B_{n-i}$相乘，就是一个前缀和的形式，所以$A_i$这一项的贡献就算了出来，这样子的话，预处理$A,B$以及其前缀和，然后$for$一遍，把每一项$A_i$的贡献算出来加上去就可以了，这样子是$O(nlogn)$的（要算快速幂）。
代码如下:

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int p = 998244353;
const int N = 1e5+10;
int fac[N] , facinv[N] , n , a[N] , b[N] , sum[N] , ans;
int qpow(int a, int b, int p) {
	int res = 1;
	for(; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % p) {
		if(b & 1) res = 1ll * res * a % p;
	}
	return res;
}
void pre() {
	facinv[0] = fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
		fac[i] = 1ll * fac[i-1] * i % p ;
		facinv[i] = qpow( fac[i] , p - 2 , p ) ;
	}
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	pre();
	for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {
		a[i] = facinv[i];
		if ( i & 1 ) a[i] = p - a[i] ;
		b[i] = 1ll * qpow( i , n , p ) * facinv[i] % p;
		sum[i] = ( ( i ? sum[i-1] : sum[i] ) + b[i] ) % p;
	}
	for (int i = 0 ; i <= n ; i++ ) ans = ( ans + 1ll * a[i] * sum[n-i] % p ) % p;
	cout<<ans;
	return 0;
}