FWT，FMT，FST，k进制FWT

二进制位运算

常见的二进制位运算有：或，与，异或。分别对应了FMT，FMT与FWT。
下面从易到难介绍这几种运算。一下默认幂级数长度为$2^n$。

FMT

即快速莫比乌斯变化，定义也挺简单的。$$f(S)=\sum _{T\subset S}g(T)$$
实际上就是子集和，同理定义快速莫比乌斯反演，即将快速莫比乌斯变化反演即可$$\hat{f}(S)=\sum _{T\subset S}(-1{)}^{|S|-|T|}g(T)$$
然后或卷积就明显可以通过此来优化。
同理就是与卷积。
定义是超集，反之亦然。

FWT

特别解决异或运算的。之后与$k$进制$FWT$一起写。

FST

就是failed system test
子集卷积。如果单纯做一个或卷积，那么势必答案是不对的，因为要求的条件实际上是

i | j == k && i & j == 0

而或卷积仅仅满足了第一个条件。那么多记一维表示应当有多少个即可。

k进制FWT

k进制下的异或任然是不进位加法，假设符号任然是$\oplus$，并且是数组A * B = C。
从原理上讲，正变换是我们要做的事情是找到这样一个矩阵$w$，使得原数组左乘上这个矩阵后还满足A * B = C。
逆变换是左乘这个矩阵的逆矩阵。那么考虑是什么意思
$$\sum _{i\oplus j=k}{A}_i\ast B_j\ast w(x,i)\ast w(x,j)=C_k\ast w(x,k)$$
对比系数可知
$$w(x,i)\ast w(x,j)=w(x,k)(i\oplus j=k)$$
那么我们的目的即使找到这样的一个矩阵。
那么这样的性质让我们想到单位根：$w_k^i\ast w_k^j=w_k^{i\oplus j}$。从而联想到范德蒙德矩阵
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ 1& w_k^1& w_k^2& ...& w_k^{k-1}\\ 1& w_k^2& w_k^4& ...& w_k^{2(k-1)}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 1& w_k^{k-1}& w_k^{2(k-1)}& ...& w_k^{(k-1)(k-1)}\end{array}\right]$$
然后我们也知道其逆矩阵
$$\frac{1}{k}\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ 1& w_k^{-1}& w_k^{-2}& ...& w_k^{-(k-1)}\\ 1& w_k^{-2}& w_k^{-4}& ...& w_k^{-2(k-1)}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 1& w_k^{-(k-1)}& w_k^{-2(k-1)}& ...& w_k^{-(k-1)(k-1)}\end{array}\right]$$
然后不就完了？剩下的与正常的FWT一样的。就是答案由len / k的答案组合而来。同时要注意，如果是mod一个NTT质数的时候，有$w_n^0=g^{\frac{mod-1}{n}}$。
下面贴一份代码：

int wn[k];
inline int w(int x, int y) { return wn[(x * y) % k]; }

void FWT(int *a, int len, int coef) {
    static int b[k];
    int v;

    for (int i = 1; i < len; i *= k) {
        for (int j = 0; j < len; j += i * k) {
            for (int k = j; k < j + i; k++) {
                for (int d = 0; d < k; d++) {
                    b[d] = a[k + d * i];
                    a[k + d * i] = 0;
                }

                for (int d = 0; d < k; d++) {
                    v = k + d * i;
                    for (int _d = 0; _d < 4; _d++) {
                        a[v] = add(a[v], 1ll * w(d, coef * _d) * b[_d] % mod);
                    }
                }
            }
        }
    }

    if (coef == -1) {
        int Inv = qpow(len, mod - 2);
        for (int i = 0; i < len; i++) a[i] = 1ll * Inv * a[i] % mod;
    }
}

其中$wn[i]=(g^{\frac{mod-1}{k}}{)}^i$，$coef$为$1$时为正变换，$-1$时为逆变换。