Hausdorff空间与有限点集是闭集与其他

前言：《拓扑学》第二版看到第三章紧致空间，提到了有限补拓扑的紧致性，起了疑惑，如果单点集都是闭集，是否是Hausdorff空间，书上只证明了必要条件，由此可想，其逆大概不成立，于是乎自己证明了，基于此，记录下来

问题$1$: 拓扑空间$X$中，每个单点集都是闭集，则$X$不一定是$Hausdorff$空间

问题$2$: 基于问题$1$，若对于每个点存在一个独立的有限邻域，即任意不同的$x\in U,y\in V$, $\{x,y\}̸\subset (U\cap V)$，其中$U,V$分别时$x,y$的有限领域，则$X$为$Hausdorff$空间

证：

$1.$通过举反例证明前半部分，如$R$上的有限补拓扑即是一个，因为其满足每个单点集为闭集，但任意二个点$x$和$y$的邻域必相交于无穷远处，不然就是有限邻域，则不符合有限补的定义

$\because \exists x\in U\wedge y\in V\Rightarrow U\cap V=\varnothing$

$\therefore R=R-(U\cap V)=(R-U)\bigvee (R-V)$

$\because R-U,R-V$都是有限集

$\therefore R̸=(R-U)\bigvee (R-V)=X$

$\therefore U,V$必相交

$2.$设任一点$x$的有限领域$U$, 任一不同点$y$的有限领域$V$, $W=U\cap V$为开集
$\alpha .$ 若$x̸\in W\bigwedge y̸\in W$，则有
$x\in (X-V)\cap V=\varnothing ,y\in (X-U)\cap U=\varnothing$
$\beta .y\in W$，则有
$x\in (X-W)\cap W=\varnothing$

而当$x\in U,y\in V$, $\{x,y\}\subset (U\cap V)$，则不能从$U,V,W,X$构造无交领域，通过简单的反例可知，这种情况下不成立，尤其当$U=V$时，如题$1$的例子$R$上的有限补拓扑，$a,b$具有相同的有限领域$U$，因为$a,b$除了领域$U$之外的所有领域组合都相交，而$U$本身又包含$a,b$，因此没有无交领域

以下为简单的推论：

拓扑空间$X$中，每个单点集都是闭集，则$X$是$Hausdorff$空间当且仅当对于任意二点$x,y$，存在无交领域或领域的交是有限集且$x,y$不同时属于这个交

思考为什么会出现这种情况，本质是什么，对于任一$x\in U$邻域，邻域$U$是闭集的无限并为什么不一定是闭集，于是乎就回归到了拓扑的定义上：

开集的有限交是开集，闭集的有限并是闭集

上述的命题的无限版本不一定成立，考虑$R$标准拓扑

$\bigcap (-\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\{0\},n\in Z_{+}$为闭集

$\bigcup (-\infty ,-\frac{1}{n}]\cup [\frac{1}{n},+\infty )=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty ),n\in Z_{+}$为开集

因此有时往往疏忽了问题的本质，例如为什么$f^{-1}$有良好的交与差性质，而$f$却没有，本质是在函数的定义上：值域里不同的两点不能由定义域里的同一点映射得到，即

${\forall }_{y_1,y_2\in f(X)}{y}_1̸=y_2\to f^{-1}(y_1)\cap f^{-1}(y_2)=\varnothing$

$x\in f^{-1}(V_1\cap V_2)\Rightarrow f(x)\in V_1\cap V_2\Rightarrow x\in f^{-1}(V_1)\cap f^{-1}(V_2)$

$x\in f^{-1}(V_1)\cap f^{-1}(V_2)\Rightarrow f(x)\in V_1\cap V_2\Rightarrow x\in f^{-1}(V_1\cap V_2)$

其他：

$(\alpha )\overline{A-B}\overline{A}-\overline{B}$

$proof:$

$\because x\in \overline{A}-\overline{B}$

$\therefore x\in \overline{A}\wedge x̸\in \overline{B}$

$\because {\exists }_{x\in U,V}U\cap (A-B)=\varnothing \bigwedge V\cap B=\varnothing \Rightarrow x\in W=U\cap V,W\cap A=\varnothing$

$\therefore {\forall }_{x\in U}U\cap (A-B)̸=\varnothing$

$\therefore x\in \overline{A-B}$

$\because A=[-1,1],B=[0,1]$

$\therefore \overline{A-B}=[-1,0]\overline{A}-\overline{B}=[-1,0)$

$\therefore \overline{A-B}\overline{A}-\overline{B}$

$(\beta )\overline{A-B}\overline{\overline{A}-\overline{B}}$

$\because x\in \overline{A}-\overline{B}$

$\therefore {\forall }_{x\in U}x\in (U-\overline{B})\cap A\subset (U-B)\cap A=U\cap (A-B)̸=\varnothing$

$\therefore x\in \overline{A-B}\Rightarrow \overline{A-B}\supset \overline{A}-\overline{B}$

$\therefore \overline{\overline{A-B}}=\overline{A-B}\supset \overline{\overline{A}-\overline{B}}$

$(X,\tau )=(\{a,b,c\},\{\varnothing ,X,\{a,b\},\{b\},\{b,c\}\})$

$A=\{a,b\},B=\{b,c\}$

$\overline{A-B}=\{a\}\overline{\overline{A}-\overline{B}}=\varnothing$

考虑$(\alpha ),(\beta )$在序拓扑下，特别是$R$的标准拓扑下的情况，未完待续。。。

$A=Q,B=R-Q\Rightarrow \overline{A-B}=R\overline{\overline{A}-\overline{B}}=\varnothing$

而$A,B$都为$R$上的非空凸子集时，可以验证$A,B$必为$R$上的区间或射线,这情况下是相等的，因为这时候只有有限个临界点

而对于其他序拓扑的非空凸子集呢？尤其是当凸子集不是区间或射线，如$R^2$字典序下的$(0,1)\times R$，未完待续。。。