【单调栈】LOJ3083「GXOI / GZOI2019」与或和

【题目】
给定一个$n\times n$的矩阵，求其所有子矩阵的与和的和以及所有子矩阵的或和的和。其中子矩阵的与和为其中所有数的与值，或和同理。答案对$10^9+7$取模。
$n\le 1000,a_i\le 2^{31}-1$

【解题思路】
首先肯定是对每一位分开算。对于与和，相当于求有多少个全$1$子矩阵。对于或和，相当于用总数减去全$0$子矩阵个数。

那么这个问题是一个单调栈经典问题。首先对于每个位置处理出它往右最多能扩展多少，枚举左边界后，就是求所有子区间的最小值之和。接下来就再用单调栈处理出每个值为最小值的区间就可以了。注意单调栈是半闭半开的。

复杂度$O(n^2\log a)$

【参考代码】

#include
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1005,mod=1e9+7;

int read()
{
	int ret=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) c=getchar();
	while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
	return ret;
}

namespace DreamLolita
{
	int n,ans[2];
	int a[N][N],b[N][N],R[N][N];
	int U[N],D[N],now[N],st[N];
	int calc()//calc all 1
	{
		int res=0,top;
		memset(R,0,sizeof(R));
		for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=n;j;--j) R[i][j]=(b[i][j]?R[i][j+1]+1:0);
		//puts("now:");
		//for(int i=1;i<=n;++i,puts("")) for(int j=1;j<=n;++j) printf("%d ",R[i][j]);
		//puts("end");
		for(int l=1;l<=n;++l)
		{
			memset(U,0,sizeof(U));memset(D,0,sizeof(D));
			now[0]=now[n+1]=-1;for(int i=1;i<=n;++i) now[i]=R[i][l];
			//for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",now[i]); puts("");
			top=0;st[++top]=0;
			for(int i=1;i<=n;++i) 
			{
				while(top && now[st[top]]>=now[i]) --top;
				U[i]=st[top]+1;st[++top]=i;
			}
			top=0;st[++top]=n+1;
			for(int i=n;i;--i)
			{
				while(top && now[st[top]]>now[i]) --top;
				D[i]=st[top]-1;st[++top]=i;
			}
			//for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",U[i]); puts("");
			//for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",D[i]); puts("");
			for(int i=1;i<=n;++i) res=(res+1ll*(D[i]-i+1)*(i-U[i]+1)*now[i]%mod)%mod;
		}
		return res;
	}
	void solution()
	{
		n=read();
		for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j) a[i][j]=read();
		int all=(1+n)*n/2;all=1ll*all*all%mod;
		for(int op=0;op<2;++op)
		{
			for(int k=0;k<31;++k)
			{
				for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=n;++j) b[i][j]=(a[i][j]>>k&1)^op;
				//printf("%d %d %d\n",op,k,calc());
				if(!op) ans[op]=(ans[op]+1ll*calc()*(1<<k)%mod)%mod;
				else ans[op]=(ans[op]+1ll*(all-calc()+mod)%mod*(1<<k)%mod)%mod;
			}
		}
		printf("%d %d\n",ans[0],ans[1]);
	}
}

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("LOJ3083.in","r",stdin);
	freopen("LOJ3083.out","w",stdout);
#endif
	DreamLolita::solution();
	return 0;
}