置换群的幂运算总结

最近看了潘振浩的《置换群幂运算的应用与研究》，在这里做一个简单总结，潘大神的世界还是太深了，我只能领悟一二

一般性结论

对于一个置换 T,Tk=e(单位置换，恒等) ，的最小整数解为， T ,所分解的循环的长度的最小公倍数。
特别的，若 T 为一个循环， k 为 T 的长度。

置换群的整数幂运算

结论一：一个长度为 l 的循环 T ， l 是 k 的倍数，则是 k 个循环的乘积，每个循环分别是循环T中下标i mod k=0,1,2…的元素按顺序的连接。
结论二：一个长度为 l 的循环 T ， gcd(l,k)=1 ，则是一个循环，与循环T不一定相同。
结论三：一个长度为 l 的循环 T ，是gcd(l,k)个循环的乘积，每个循环分别是循环T中下标i mod gcd(l,k)=0,1,2…的元素的连接。

特别的我们有，
对于一个长度为 l 的循环如果， Tk=T′ 且 gcd(l,k)=1 ,若用 a′[],a[] ，分别表示置换 T′,T 则有

a′[i]=a[i∗k%l]

其中 a′[],a[] 分别为最小元开始的循环既有 a′[0]=min,a[0]=min .

置换群的分数幂运算（开方）

即给定一个置换 T′ ,求 T,s.t,Tk=T′ .

单循环的分数幂运算

若 T′ 为单循环，我们有如下结论， T′ 可以开方，当且仅当， gcd(l,k)=1 ,
因为我们由上面的结论，一个长度为 l 的循环 T ，是 gcd(l,k) 个循环的乘积，即若 gcd(l,k)≠1 ,则他不可能得到一个单循环
按照上面的结论，做变换 a′[i]=a[i∗k%l] ，可以得到置换 T

多循环的分数幂运算

可以把多循环分成几个单循环，对于长度相同相同的循环来说，找一个单循环可以分成 gcd(l,k) 个单循环就行了。

练习题

以下练习题都是我自己做过的好题，对于理解置换群是相当不错的练习。他们的连接和解题报告在我的BLOG中均有给出。以下只给出在我博客中的网址。

poj 3270 Cow Sort(置换群的分解)
poj 1026 chiper(置换幂)
poj 1721 CARDS(置换群的幂运算)
poj 3128 Leonardo’s Notebook(置换群的分数幂运算)
poj 3590 The shuffle Problem（置换群的幂运算）