强联通分量分解

强联通分量分解

一个有向图的强联通分量的定义如下:

若对于子图中的任意两个节点 u,v 总存在 u 到 v 的路径则这个子图称作这个图G的一个强联通分量

对于图的强联通分量分解，《算法导论》中介绍了Kosaraju Algorithm.

这个算法思想很简单:
1. dfs遍历有向图. 计算节点访问结束的时间.
2. 计算 GT 即边反向后的图.
3. 按照结束时间递减的顺序，dfs GT

下面我们简单证明一下这个结论(不是很严谨，详细证明参见《算法导论》)

引理 1

对于有向图中的两个强联通分量 c1,c2 如果说有一条边 (u,v)∈E，u∈c1,v∈c2 ，则必定没有一条从 c2到c1 的边.

这个结论是很显然的如果有一条边从 u⇝v 显然 c1 中的所有节点都可以到达 c2 ，如果又有另外一条边从 c2 到达 c1 那不是 c1,c2 中的所有节点都可以互相到达类吗.

定理1

对于又向图中的两个强联通分量 c1,c2 如果说有一条从 c1 到 c2 的边，则在第一次dfs中， c1 的结束时间肯定比 c2 大,即 f(c1)>f(c2)

f(c)=min(f(v))v∈c

分两种情况考虑，
1. start(c1)>start(c2) 分量 c1 的开始时间比 c2 晚的情况，由于 c2 没有到达 c1 的边，所以在 c2 中dfs的时候一定不能搜索到 c1 中的点，所以 c2 会先结束.
2. start(c1)<start(c2) 分量 c1 的开始时间先于 c2 的情况，由于 c1 中一定有一条边 (u,v)∈E,u∈c1,v∈c2 即 u 是 c2 的祖先,由深度优先的性质，祖先节点总是晚与子孙节点的结束时间，因此， f(c1)>f(c2)

由前面两个定理我们可以”感觉” 的到，当反过来遍历的时候由于从结束时间最大节点开始，由于边都已反向所以必然不会有边指出去，所以dfs,搜索到的节点一定是一个强联通分量.这样我们就可以由归纳法来证明这个算法的正确性.这里不做证明.

下面给出这个算法的c++代码

std::vector<int> G[MAX_V];
 std::vector<int> rG[MAX_V];
 bool vis[MAX_V];
 int scc[MAX_V];
 std::vector<int> vs;//访问结束时间栈
 void add_edge(int u,int v){
   G[u].push_back(v);
   G[v].push_back(u);
 }
 void dfs(int u) {
   vis[u] = true;
   for(int i=0 ; iif(!vis[G[u][i]])dfs(G[u][i]);
   vs.push_back(u);
 }

 void rdfs(int u,int scc_cnt) {
   vis[u] = true;
   scc[u] = scc_cnt;
   for(int i=0 ; iif(!vis[rG[u][i]])rdfs(rG[u][i]);
 }

 int Kosaraju(int nv){
   int scc_cnt = 0;
   memset(vis,false,sizeof(vis));
   vs.clear();
   for(int i=0 ; iif(!vis[i])dfs(i);
   memset(vis,false,sizeof(vis));
   for(int i= vs.size()-1 ; i>=0 ; --i)
     if(!vis[vs[i]])rdfs(vs[i],++scc_cnt);
   return scc_cnt;
 }