[C++日常小题] 计算二叉查找树的高度

Description

给定一个二叉查找树，要求计算其高度，每个二叉查找树将给出先序与中序的遍历。

例如：一个二叉查找树其先序遍历为：16, 10, 4, 15, 23 ; 中序遍历为 4, 10, 15, 16, 23，则其高度为2（假定空树高度为-1，只有根节点的数高度为0）

Input

第一行输入测试用例个数。

对于每个测试用例，

第一行是节点个数n，第二行是key值的先序遍历，第三行是key值的中序遍历

Output

对于每个测试用例，用一行输出树的高度

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Sample Input

2
3
4 5 6
4 5 6
5
6 4 8 9 10
4 6 8 9 10

Sample Output

2
3

---

解题思路

首先，根据二叉树的遍历特性

• 先序遍历： 首先访问根结点然后遍历左子树，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树，如果二叉树为空则返回。
• 中序遍历： 首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，再访问根结点，最后遍历右子树。

可以推出，先序遍历的第一个元素就为二叉树的根结点。
又在中序遍历中，若找到根节点，则根节点左侧的为其左子树结点，右侧的为其右子树结点。

为了更方便阐述，设几个变量

• root: 当前根结点在先序遍历中的下标
• pos: 当前根结点在中序遍历中的下标
• left: 根树或子树的所有结点在中序遍历中的下标范围的左边界
• right: 根树或子树的所有结点在中序遍历中的下标范围的右边界（结点不包括右边界）

若根结点有左子树，则先序遍历中下标为 root + 1 的结点为其左子树的根结点，[left, pos) 为其左子树的所有结点。
当前根结点在先序遍历中下标为 root + pos - left + 1 的结点为右子树的根结点，[pos + 1, right) 为其右子树的所有结点。

知道了左子树和右子树的元素，并且找到了两个子树的根结点，通过同样的方法，在左右子树中分别再找其左右子树，这样递归下去，可以确定唯一的二叉树。
这道题只要求出树的高度，那么我们可以认为，若一个树有左子树或者右子树，则树的高度 + 1。

上面的描述可能不是很准确，举个例子更清楚一点，一棵有9个结点的二叉树

• 先序遍历: 5 2 1 4 3 8 7 6 9
• 中序遍历: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

根树

• root = 0;
• pos = 4;
• left = 0;
• right = 9;

根结点为 5；
左子树的根结点为 2，先序遍历中下标为 root + 1 = 1；所有结点为 1 2 3 4，中序遍历中下标范围为 [0, 4)。
右子树的根结点为 8，先序遍历中下标为 root + pos - left + 1 = 5；所有结点为 6 7 8 9，中序遍历中下标范围为 [5, 9)。

根树的左子树

• root = 1;
• pos = 1;
• left = 0;
• right = 4;

根结点为 2；
左子树的左子树的根结点为 1，先序遍历中下标为 root + 1 = 2；所有结点为 1，中序遍历中下标范围为 [0, 1)。
左子树的右子树的根结点为 4，先序遍历中下标为 root + pos - left + 1 = 3；所有结点为 3 4，中序遍历中下标范围为 [2, 4)。

根树的右左子树

• root = 5;
• pos = 7;
• left = 5;
• right = 9;

根结点为 8；
左子树的左子树的根结点为 7，先序遍历中下标为 root + 1 = 6；所有结点为 6 7，中序遍历中下标范围为 [5, 7)。
左子树的右子树的根结点为 9，先序遍历中下标为 root + pos - left + 1 = 8；所有结点为 9，中序遍历中下标范围为 [8, 9)。

左子树的左子树和右子树，右子树的左子树和右子树同理递归下去，就不再继续列出来了。

Code

#include 

int preorder[1000001];  // 先序遍历
int inorder[1000001];  // 中序遍历
int height = 0;  // 树的高度

void findHeight(int root, int left, int right, int h);
int main() {
    int t, n;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        height = -1;
        scanf("%d", &n);

        for (int i = 0; i < n; ++i)
            scanf("%d", preorder + i);

        for (int i = 0; i < n; ++i)
            scanf("%d", inorder + i);

        findHeight(0, 0, n, 0);
        printf("%d\n", height);
    }
    return 0;
}
void findHeight(int root, int left, int right, int h) {
    if (left >= right) return;  // 判断是否为空树
    int pivot = preorder[root];
    int pos = left;

    if (h > height) height = h;  // 更新树的高度
    while (pos < right && inorder[pos] != pivot) pos++;  // 找根结点在中序遍历中的下标

    // 递归遍历左子树
    if (left < pos) findHeight(root + 1, left, pos, h + 1);

    // 递归遍历右子树
    if (pos + 1 < right) findHeight(root + pos - left + 1, pos + 1, right, h + 1);
}

以上所有，如有错误，麻烦指出，我会及时更改的。