最短路算法之spfa （入门，玄学的时间复杂度）

最近做了很多图论题，最短路,MST,二分图，网络流等等。

感觉目前自己可以理解通透的只有最短路和MST。今天写一下关于spfa自己的理解

spfa是单源最短路算法。

第一步，我们需要存图，通常会开一些二维的数组，不得不说二维数组确实使用方便。但是他的局限性就是太耗费内存。开了很多无用的。而且二维开10000就会爆掉内存，于是我们用了两组方式存图。

1.vector不定长数组存图，开一个一维的1e5或者1e6，二维可以在有边的时候加入

2.结构体存图。我比较习惯用这种方式存图。

这两种方式存图，没有什么好坏之分，只是习惯，而且遍历一遍的时间复杂度都是O(E)

接下来就说到spfa。spfa的时间复杂度通常是O(kE)，k是常数。看起来是一个很好的情况，但是他最坏情况下是O(VE),也是有一次写题碰到过，TLE了。

结构体存图就不说了。说一下spfa的操作方式。

void spfa(int st)   //st是源点
{
	memset(vis, false, sizeof(vis));
	memset(dis, inf, sizeof(dis)); //距离源点的距离初始化成inf
	queueq;
	dis[st] = 0;   //源点的距离默认成0
	vis[st] = true;  //标记源点
	q.push(st);  //放入队列
	while (!q.empty())
	{
		int u = q.front();  //弹出当前点
		q.pop();
		vis[u] = false;  //标记成false，原因写在了下面
		for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
		{
			int v = edge[i].v;
			int w = edge[i].w;
			if (dis[v] > dis[u] + w) //比较子节点距离源点的距离和（父节点距离源点的距离+他们之间的距离）
			{
				dis[v] = dis[u] + w;  //如果子节点距离源点的距离可以更小，则更新子节点的距离源点的距离
				if (!vis[v])  //如果子节点未被标记过，则标记子节点，并加入队列
				{
					vis[v] = true;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
}

首先用了一个队列，存放点。用了vis标记数组，标记点是否走过，和dits数组记录距离。函数的开始，放入源点进行遍历。

一旦有下一个点，比较当前点的权值和他父节点的权值+他们之间的距离，然后更新子节点的权值。如果这个节点未被标记过，则标记这个点，并把他放入队列。

可以说是通过队列来不断的更新节点的权值，直至没有点可以更新，退出算法。

 

我们可以注意到，在弹出这个节点的时候，会把他标记成false，因为如果能从其他点到达他的距离更小，他会重新更新权值，如果不把他标记成false，那么他就无法进入队列，无法更新他前一次接触的点的权值。（自己想一想）

spfa的优点是可以处理负权值，但是不能处理负环。可以判断是否有环。

spfa在最优的情况下是O(kE)，就是遍历了一遍所有的边。

spfa虽然简单，如果为了参加比赛，建议去学习dij+堆优化。因为时间复杂度是稳定的O(VlogE)。可以稳定处理1e5个点。

spfa说不准主办方就会卡你O（VE）。

后续会写一下dij+堆优化，也推荐大家比赛使用这个。spfa可以处理一些简单题就好了。毕竟时间复杂度太玄学