动态规划：考试通过概率

问题描述

小明同学要参加一场考试，考试一共有n道题目，小明必须做对至少60%的题目才能通过考试。考试结束后，小明估算出每题做对的概率，p1,p2,…,pn。你能帮他算出他通过考试的概率吗？

输入输出要求

输入：
输入第一行一个数n（1<=n<=100），表示题目的个数。第二行n个整数，p1,p2,…,pn。表示小明有pi%的概率做对第i题。（0<=pi<=100）
输出：
小明通过考试的概率，最后结果四舍五入，保留小数点后五位。

解题思路

1. 首先我们可以求出小明至少要做对多少道题目才能通过这场考试。m=3n/5取上界，在代码中可用(3*n+4)/5来计算。

2. 小明至少要答对m道题目才能通过考试。我们用f(i,j)表示在第1,2,3,…. i道题目中(对于f(i,j)，显然有j <= i)，小明一共能答对j道题目的概率。对于第i道题目，我们分别考虑小明能做对这道题，还是不能做对这道题，于是有以下公式：
   

   f(i,j)={f(i−1,j)(1−pi)f(i−1,j−1)∗pi+f(i−1,j)∗(1−pi)若j = 0若j > 0

   特别的，当i = 0时，有如下公式：

   f(0,j)={10若j = 0若j = 1

   由此递推求出所有的f(i，j)，答案为：

ans=∑i=mnf(n,i)

程序代码

#include 
#include 

#define maxn 109

int n;                  //n道题
double p[maxn];         //p[i]:第i道题做对的概率
double dp[maxn][maxn];  //dp[i][j]:前i道题做对j道题的概率

int main()
{
    int i, j;
    scanf("%d", &n);
    for (i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lf", &p[i]);
    for (i = 1; i <= n; i++)
        p[i] /= 100;
    dp[0][0] = 1;
    for (i = 1; i <= n; i++)
    { //根据递推式计算dp[i][j]
        dp[i][0] = dp[i-1][0]*(1-p[i]);
        for (j = 1; j <= n; j++)
            dp[i][j] = dp[i-1][j]*(1-p[i]) + dp[i-1][j-1]*p[i];
    }

    int low=(3*n+4)/5;
    double ans=0;
    for (i = low; i <= n; i++)
        ans += dp[n][i];
    printf("%.5lf\n", ans);
    return 0;
}