2019暑假正睿集训8.5day2题解及总结

题解

T1 小K与赞助

题目分析：

一张图里两棵树，每个人选择一个点集，两个人选的点集不想交，求最大权值

8~21pts

直接暴力枚举 两个节点不想交

47~65pts

只考虑两棵树完全一样的情况：

树形DP（背包）

$dp[i][j][j][k]$表示以i为跟的子树，在第一棵树上选j个，第二棵树上选k个点的最大利润。

时间复杂度：$O(n^3)$

100pts

**方法：费用流 **

两个人的两棵树分别建出来 每棵树父亲向儿子连一条有向边，

流量：当前点所对应的子树最多选的点数

每个点都可以接受1的流量（被选择）

最后跑一遍最大费用最大流

时间复杂度：$O(n^{2}logn)$

T2 小K与重建计划

题意分析：

有解当前仅当：所有点的点权和大于等于所有边的边权和

证明:

${\sum }_{u,v}(a[u]+a[v]-w_{a,w})>=0$

${\sum }_{u,v}(a[u]+a[v]）-\sum w_{a,w}>=0$

7pts

枚举全排列

15pts

状压DP

38pts

枚举所有边，找到一条满足的边，缩边，$时间复杂度O(n^2)$优先缩两端点权

45pts

找边权和最小的树(即最小生成树)，其余同38分做法。

70pts

每次找到两个点之间有一条边，合并后点权会改变

100pts

从下往上贪心

每次缩一个子树，满足： 子树点权和（a）-边权和（b）-连到根节点的边＋根节点的权值>=0

每次操作后变的只有根节点的权值。

可以按子树点权和-边权和从大到小排序，但其实没必要排序，先做a-b大于0部分，这样的话有解情况下根节点的权值一定会增加，再做a-b小于0部分

T3 小K与作品

**写在前面：**对于一个完全平方数: 每一个质因子的次幂都是偶数

100pts:

设 g(x) 为 x 向左找到的最近的数，即与 f(x) 意义类似，方向相反的函数。

实际上f(x)与 g(x) 互为反函数。

证明：假设从 f(x) 向左找到的第一个位置为 y>x ，则我们把两次找到的序列取对称差（即异或），则得到的新序列也是完全平方数，发现由于 f(x) 在两个序列里都出现了，且 x 只出现了一次，所以可以找到一个左端点为 x ，右端点

也就是说，每个合数都有且仅有一个互不相同的解，且答案为 g(x) 。

考虑从 x往前扫，每次加入一个 l ，看是否线性无关~~（直接百度）~~即可。

时间复杂度：$O(\frac{n^3}{64{\ln }^{2}n})$ 真的不知道怎么搞出来的

发现超过$ \sqrt n$ 的质数只会有一个，在线性基上特判一下即可。(然而我不知道怎么特判)

不超过 1000的质数只有 168 个，复杂度 $O(\frac{168^2\times n}{128}n)$ ，但实际上答案不会超过 $\frac{n}{2}$，所以可过。

以上思路是理解了，代码还是不会写Orz

今日总结

本来以为第一题能得部分分（两棵树一样的情况），感觉思路还蛮清晰的，没想到居然爆零TOT，第三题打了前n<=20的表然鹅并没有什么用，只有质数的特判得了分。心态有点崩orz

感觉自己见的题型太少了，有些题有些想法但完全没有正解的思路。不过每天都还是在进步吧。QAQ