【欧拉降幂公式】【欧拉函数】

一、降幂公式

$$A^K\equiv A^{K\%\varphi (m)+\varphi (m)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$

$$其中\phi (即phi)是欧拉函数$$

二、欧拉函数

1. 定义：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作$\phi (n)$ 。
2. 性质：
   1、$\phi (1)=1$
   2、$\phi (p)=p-1$ (对于质数p)
   3、欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有$a^{\phi (n)}\equiv 1modn$。
   4、欧拉函数是积性函数：若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)（积性函数表达式）。
   5、n是质数p的k次幂，有$\phi (n)=p^k-p^{(k-1)}=(p-1)p^{(k-1)}$，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
   6、设p为n的质因数
   若(n % p == 0 && (n / p) % p == 0) 则有φ(n)=φ(n / p) * p；
   若(n % p == 0 && (p / p) % p != 0) 则有：φ(n) = φ(n / p) * (p - 1)。

三、模板

欧拉函数
法一：

long long euler(long long x)  //直接求欧拉函数
{
    long long res=1;
    for(long long i=2;i*i<=x;++i){
        if(x%i==0){
            x/=i;
            res*=(i-1);
            while(x%i==0){
                x/=i;
                res*=i;
            }
        }
    }
    if(x>1) res*=(x-1);
    return res;
}

法二：

//求欧拉函数 相当于不断减去
long long phi(long long x)
{
    long long res=x;
    for(long long i=2;i*i<=x;++i){
        if(x%i==0){
            res=res-res/i;
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x>1)
        res=res-res/x;
    return res;
}

快速幂

long long qpow(long long a,long long n,long long mod)     //快速幂
{
    long long ans=1;
    while(n){
        if(n&1){
            ans*=a;
            ans%=mod;
        }
        a=(a*a)%mod;
        n>>=1; 
    }
    return ans;
}