涟漪中的数学难题

一句话的总结：近年，两位数学家证明了，在一定的极端条件下，Navier-Stokes方程的输出是不合理的。

 著名的Navier-Stokes方程，用寥寥几项简明的数学表达式抓住了物理世界最普遍的特征：流体的运动。这个历史悠久的方程，追溯源头是在19世纪20年代，在如今依然被人们用来做几乎所有相关流体问题的建模，从洋流运动到飞机飞行时遇见的湍流，以及心脏中的血液流动，都离不开这个方程。

物理学家们理所当然地认为这个方程是十分合理的工具，但数学家们的看法却有些不同。对数学家来说，他们更希望证明这个方程是不会失效的：也就是说，不论什么样的流体，也不论你预测多久以后的流动，该方程在数学上依然成立。这是极难的证明。第一个能证明Navier-Stokes方程始终有效的人（或团队），可以获得由Clay数学研究所设立的七大千禧年问题的大奖，以及随之的一百万美元的奖金。 

数学家发展出很多办法来尝试解决这个难题。2017年9月发布在网上的一个新工作，对于这么多年来（用来尝试证明的）主要方法是否能成功提出提出了质疑和挑战。这篇由普林斯顿大学的Tristan Buckmaster和Vlad Vicol所出的文章[2]，发现在一些特定的假设之下，Navier-Stokes方程对物理世界会有不一致的描述。

“我们指出一些关于这些方程的内在问题，这可能使得人们不得不重新思考Navier-Stokes难题。”Buckmaster如是说道。

Buckmaster和Vicol的工作表明，当你允许Navier-Stokes方程的解十分粗糙的时候（形象地说，像一张素描而不是一张照片），方程的输出会不合理，同样的流体从完全同样的初始条件出发，可能会进入两个甚至更多十分不同的末态。换句话说，若始终坚持方程的合理性的话，流体会以多种完全不同方式流动，这是物理世界不允许的。也就是说，若方程有这样多种解的行为，那么它便不再能可靠地反应真实的物理世界。

 方程“飘了”[3]（Blowing up the equation） 

为了看清这些方程是如何失效的，首先想象一个海洋洋流的情景。洋流中可能有许多股的交叉流动，一部分以某个速度往一个方向移动，而其它区域以别的速度往别的方向流动。这些交叉流动之间有相互作用，摩擦与水压等参量在相互作用中不停演化，进而决定流体的流动。

数学家们用一张图来模拟洋流的相互作用，这张图告知我们流体每个点的流动的方向和速度。这样的图，称之为矢量场，是流体内部动力学的“照片”。Navier-Stokes方程拿过这张照片，并把它向时间轴的前方推进，告诉你在未来的任意给定时间这个矢量场变成了什么样子。

这个方程无疑是有效的。它描述流体的运动，就像牛顿方程预测行星将来的位置一般可靠；物理学家们一直在用它，它给出的结果与实验的结果也吻合的非常好。但是数学家们想要更加严谨的证明，证明无论给定怎样的初始矢量场，Navier-Stokes方程永远都给出唯一的演化。

这正是千禧年问题的内容。也就是说，Navier-Stokes方程的解必须能提供流体中未来任意时刻每个点的准确的方向和流体速度等数值。拥有这样无限“分辨率”的解叫做“光滑的”解。在一个光滑解中，矢量场中每个点都有一个伴随的矢量，使你能够顺着箭头“光滑地”走遍整个矢量场，而不会遇到某个没有矢量依附的点处而被困住（在这种点处你不知道接下来往哪里走）。

光滑解集用来表述物理世界是完备的，但是数学上讲，他们并不一定总是存在。研究像Navier-Stokes方程的数学家担心这种场面：你在施展Navier-Stokes大法并观察矢量场如何变化，经过有限的一段时间后，方程告诉你，嗯，有个粒子在流体中速度无穷大了…这就是毛病了。方程中包含压强、阻力和速度等数量的变化率（导数），但你无法再对一个无穷大的量进行求导。因此，如果方程产出这么个无穷大的量，就说它在此处失效了（break down），或者说是爆了（blow up）。此时方程再也不能给出真实的流体的状态。Blowup强烈暗示着，方程缺失了一些描述物理世界应该包含的某些东西。Buckmaster认为，或许Navier-Stokes方程确实没有抓住真实流体的一些效应也说不定，毕竟真实物理世界没有速度无穷大的粒子。 

解决千禧年问题应当包括证明Blowup永远不会发生，或者确定怎样的情况下会发生blowup。数学家们在用的一个策略是，首先放松对方程的解的描述能力的要求。

 

 从弱解到光滑解（From weak to smooth） 

数学家们在研究Navier-Stokes方程的时候，有时会先放宽他们对“解”的定义。光滑的解要求最多——在Navier-Stokes方程中，它们要求矢量场中每个点都有伴随的矢量。但是如果你放松要求，比如说你只需要计算部分点处的矢量，或者只需要能得到近似的矢量。这样的解称为“弱解”，它们允许数学家初步体察方程的行为而不必辛苦地寻找光滑解（实践中有时或许是不可能做到的）。

弱解和“弱”的等级有关。如果把光滑解看成是流体在数学上无限分辨率的图像，那么弱解就像是32比特、16比特或者8比特的版本，这就取决于你允许它们有多弱。

1934年法国数学家Jean Leray定义了一类重要的弱解。不同于处理严格意义上的矢量，Leray解取定一个小区域中所有矢量的平均值。Leray证明，如果允许解取这种特殊的形式，则总能解出Navier Stokes方程。换句话说，Leray解永远不会blowup。

Leray的成果建立了一条解决Navier-Stokes的思路：从Leray解出发，看能否把它们转化成光滑解。光滑解的存在性正是要证明的。这个过程就像从一个粗糙的图片出发，看能不能提高分辨率以得到完美的图像。如果能做到使这些Leray解最终变成光滑，那么就解决了那个千禧年问题。

不过还有一些隐藏属性需要讨论。Navier-Stokes方程的解对应于真实物理世界，物理世界的事件只最终只有一种结果。因此，我们期望（给定条件下）一个方程只有一个唯一的解。如果出现多个解的话，那么这个方程就“废了”。也正是因此，只有在保证唯一性的情况下，Leray解才能够用来解决千禧年难题。

Buckmaster和Vicol的新结果，是第一个表明对于某些定义中的特解，唯一性不能保证。在文章中，他们考虑了比Leray解更弱的解——运用和Leray解相同的平均的法则但是进一步放松了一个额外的条件（所谓的“能量不等式”）。他们使用了一个叫做“凸积分”的办法，该方法是数学家John Nash在几何中提出的，在近年被De Lellis和Szekelyhidi引入到流体的研究中来。使用这个方法，Buckmaster和Vicol证明了这些Navier-Stokes方程的弱解是不唯一的。例如，如果从一个完全静止的流体出发，如床边案头的一杯岁月静好的白开水，有可能两种情况：一种是永远保持静止，另一种很诡异但是数学上完全允许，就是水开始时保持静止，到了午夜突然喷发一下，然后回归静止。

Buckmaster和Vicol证明了Navier-Stokes方程中许多不唯一弱解的存在。不必太过悲观的是，这项工工作的意义还有待进一步的研究。在某种程度上，弱解可能因为太弱而与稍微光滑一些的解关系不大，这样的话Buckmaster和Vicol的工作可能不会带来太严重的问题。De Lellis说，他们的结果无疑是一种提醒，但或许是因为他们研究的解太弱。许多强一些的解对于Navier-Stokes问题的解决仍然是有希望的。 

Buckmaster和Vicol也在思考这些。他们把目光放在了Leray解上，探讨是否有类似的不唯一性的证明。“Buckmaster和我都认为Leray解是不唯一的，我们还没有证明，但是我们之前的工作，已经为接下来处理问题打下了不错的基础。”Vicol如是说道。

 

[1]原文链接：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-wrinkle-in-famed-fluid-equations-20171221/

[2]Tristan Buckmaster, Vlad Vicol, Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation, arXiv:1709.10033,Annals of Mathematics, Vol. 189, No. 1 (January 2019), pp. 101-144 (44 pages)

[3]“飘了”是我形象的翻译并非原意～

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编辑 ∑Pluto

来源：CarronLi的个人博客

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