差分方程基础知识备注

【参考资料】
【1】《差分方程及其应用》
【2】http://www.docin.com/p-651898262.html
【3】http://www.docin.com/p-590864759.html

差分方程定义

设t取离散的等间隔整数值，有$y_t=f(t)$，这里$y_t$的取值是一个序列。以二阶差分为例:
$y_{t+2}+a(t)y_{t+1}+b(t)y_t=f(t)$
注:这里$a(t)b(t)f(t)$都是自变量为t的已知函数。如果f(t)不为零，则称其为二阶非齐次线性差分方程。

二阶齐次解的结构

若函数$y_1(t)$和$y_2(t)$是二阶齐次线性差分方程的线性无关特解,则$y_C(t)=C_1{y}_1(t)+C_2{y}_2(t)$是该方程的通解，其中$C_1{C}_2$是任意常数。

二阶非齐次解的结构

若函数$y^{\ast }(t)$是二阶线性非齐次方程的一个特解,$y_C(t)$是对应齐次方程的一个通解，则该差分方程的通解为:$y_t=Y_C(t)+y^{\ast }(t)$

一阶常系数差分方程求解

有一阶常系数差分方程$y_{t+1}+a{y}_t=f(t)$

第一步：我们有对应的齐次方程$y_{t+1}+a{y}_t=0$，由于$y_{t+1}$是$y_t$的常数倍，因此令$y_t={\lambda }^t$

第二步：带入得到${\lambda }^{t+1}+a{\lambda }^t=0$,得到解$\lambda =-a$

第三步：我们得到齐次方程的通解$y_t=C(-a{)}^t$，其中C为任意常数

第四步：根据f(t)求非齐次方程的特解，如下:

例题

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n阶常系数线性差分方程求解

n阶常系数线性差分方程的一般形式:

$y_{t+n}+a_1{y}_{t+n-1}+...+a_{n-1}{y}_{t+1}+a_n{y}_t=f(t)$

第一步:将$y_t={\lambda }^t$带入齐次方程，得到特征方程:
${\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+...+a_{n-1}\lambda +a_n=0$

第二步: 计算通解，用两种可能：

1. 有实特征根$\lambda$，其重复次数为m，则${\lambda }^t,t{\lambda }^t,...,t^{m-1}{\lambda }^t$是其m个线性无关特征解
2. 有共轭复根$\lambda =a\pm bi$，其重复次数为k，则

$\{\begin{array}{l}{r}^{t}cos\omega t,t{r}^{t}cos\omega t,....,,t^{k-1}{r}^{t}cos\omega t\\ r^{t}sin\omega t,t{r}^{t}sin\omega t,....,,t^{k-1}{r}^{t}sin\omega t\end{array}$
其中$r=\sqrt{a^2+b^2}$，$tan\omega =\frac{b}{a}$

第三步: 采用待定系数法计算特解

将$\overline{y_t}=B{t}^{n-1}$，包括$BBtB{t}^{2}B{t}^{n-1}$带入原始计算

第四步: 组合通解和特解得到最终解

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例题:

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