插值法：拉格朗日插值、牛顿插值

拉格朗日插值法

（*以下定义选自维基百科）

算法流程图

算法代码

 #include
 #include
 #include
 using namespace std;

 double Lagrange(int N,vector<double>&X,vector<double>&Y,double x);

 int main(){
   char a='n';
   do{
     cout<<"请输入差值次数n的值："<
     int N;
     cin>>N;
     vector<double>X(N,0);
     vector<double>Y(N,0);
     cout<<"请输入插值点对应的值及函数值(Xi,Yi)："<
     for(int a=0;a
         cin>>X[a]>>Y[a];
     }
     cout<<"请输入要求值x的值："<
     double x;
     cin>>x;
     double result=Lagrange(N,X,Y,x);
     cout<<"由拉格朗日插值法得出结果： "<
     cout<<"是否要继续？(y/n)：";
     cin>>a;
   }while(a=='y');
   return 0;
 }

 double Lagrange(int N,vector<double>&X,vector<double>&Y,double x){
   double result=0;
   for(int i=0;i
     double temp=Y[i];
     for(int j=0;j
     if(i!=j){
         temp = temp*(x-X[j]);
         temp = temp/(X[i]-X[j]);
    }
   }
   result += temp;
 }
  return result;
 };

牛顿插值法

牛顿插值法公式如下，具体参见（ 百度文档）

算法流程

算法代码

 #include
 #include
 #include
 using namespace std;

 double ChaShang(int n,vector<double>&X,vector<double>&Y);
 double Newton(double x,vector<double>&X,vector<double>&Y);

 int main(){
   int n;
   cin>>n;
   vector<double>X(n,0);
   vector<double>Y(n,0);
   for(int i=0;i
     cin>>X[i]>>Y[i];
   }
   double x;
   cin>>x;
   cout<
 }

 double ChaShang(int n,vector<double>&X,vector<double>&Y){
   double f=0;
   double temp=0;
   for(int i=0;i
     temp=Y[i];
     for(int j=0;j
         if(i!=j) temp /= (X[i]-X[j]);
     f += temp;
   }
   return f;
 }

 double Newton(double x,vector<double>&X,vector<double> &Y){
   double result=0;
   for(int i=0;i
     double temp=1;
     double f=ChaShang(i,X,Y);
     for(int j=0;j
         temp = temp*(x-X[j]);
     }
     result += f*temp;
   }
   return result;
 }

实验过程原始记录

给定函数四个点的数据如下：


试用拉格朗日插值确定函数在x=2.101，4.234处的函数值。
运行得到结果：


已知用牛顿插值公式求的近似值。
运行程序得到结果：   2.26667 

实验分析

1、Lagrange插值法和Newton插值法解决实际问题中关于只提供复杂的离散数据的函数求值问题，通过将所考察的函数简单化，构造关于离散数据实际函数f（x）的近似函数P（x），从而可以计算未知点出的函数值，是插值法的基本思路。
2、实际上Lagrange插值法和Newton插值法是同一种方法的两种变形，其构造拟合函数的思路是相同的，而实验中两个实际问题用两种算法计算出结果是相同的。
3、实验所得结果精确度并不高，一方面是因为所给数据较少，另一方面也是主要方面在Win32中C++中数据类型double精度只有7位，计算机在进行浮点运算时截断运算会导致误差。实际问题中，测量数据也可能导致误差。
4、在解决实际问题中，更多是利用精确且高效的计算机求解。所以解决问题时不仅要构造可求解的算法，更重要是构造合理的可以编写成程序由计算机求解的算法，而算法的优化不仅可以节省时间空间，更能得到更为精确有价值的结果。

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