Eratosthenes筛法(埃式筛法)时间复杂度分析

Eratosthenes筛法时间复杂度的数学分析

此文献给那些对于算法背后的数学知识真正热爱的人，共勉

bool notPrime[maxn];
void init() {
	memset(notPrime, 0, sizeof(notPrime));
	notPrime[0] = notPrime[1] = true;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		for (int j = i*2; j <= n; j += i)
        	notPrime[j] = true;
}

注意代码中内层循环的写法和进入的对象，对于外层循环的每一个 i 都进入了内层循环处理了，内层循环是从 2*i 开始的不是 i*i ，并不是线性筛的最终状态，本文的主要目的是在于分析上面代码的时间复杂度

时间复杂度的数学分析

外层循环为 n ，当外层循环锁定一个数时，设为 i ，那么内层的循环次数为
$$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor -1<\frac{n}{i}$$
那么循环总数即为
$$\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\cdots +\frac{n}{n}$$
提取 n 得
$$n\times (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n})$$
根据牛顿(Newton)的幂级数有
$$ln(\frac{x+1}{x})=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{3x^3}-\frac{1}{4x^4}+\frac{1}{5x^5}-\cdots$$
可由$ln(1+\frac{1}{x})$在无限远处泰勒展开推出，下式为$ln(1+t)$的麦克劳林展开式
$$ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}+\frac{t^5}{5}-\cdots$$
将$t=\frac{1}{x}$代入
$$ln(1+\frac{1}{x})=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{3x^3}-\frac{1}{4x^4}+\frac{1}{5x^5}-\cdots$$
移项得
$$\frac{1}{x}=ln\frac{x+1}{x}+\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{4x^4}-\frac{1}{5x^5}+\cdots$$
分别令 $x=1,2,\cdots ,n$ 带入，得
$$\frac{1}{1}=ln(2)+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots$$
$$\frac{1}{2}=ln(\frac{3}{2})+\frac{1}{2\times 4}-\frac{1}{3\times 8}+\frac{1}{4\times 16}-\frac{1}{5\times 32}+\cdots$$
$$⋮$$
$$\frac{1}{n}=ln(\frac{n+1}{n})+\frac{1}{2\times n^2}-\frac{1}{3\times n^3}+\frac{1}{4\times n^4}-\frac{1}{5\times n^5}+\cdots$$
把这 n 个式子加和，整理得
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=ln(n+1)+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{n^2})-\frac{1}{3}(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\cdots +\frac{1}{n^3})+\cdots$$
后面那一串是收敛的，设为 $\gamma$ ，则原式为
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=ln(n+1)+\gamma$$
欧拉近似地计算了 $\gamma$ 的值，约为 0.577218 ，这就是欧拉常数
所以一开始的那个循环的总式用大O表示法可以如此表示
$$\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\cdots +\frac{n}{n}=n\times (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n})=O(nlogn)$$
所以 Eratosthenes 筛法 的时间复杂度为$O(nlogn)$