解析几何：第一章坐标系与坐标变换：平面直角坐标系、空间直角坐标系及其变换、极坐标系，圆柱面坐标系，球面坐标系
§1 平面直角坐标系及其变换
| 1.直角坐标系（笛卡儿坐标系） 坐标系：O-XY 点M(x,y),x为横坐标，y为纵坐标. 在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个象限中坐标x,y的符号为:
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| 2.坐标轴平移 旧坐标系O-XY,点M的坐标(x,y). 新坐标系O'-X'Y',点M的坐标(x',y'). 新坐标系原点O' 在旧坐标系内的坐标为(g,h). 则:
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| 3.坐标轴旋转 旧坐标系O-XY,点M的坐标(x,y). 新坐标系O-X'Y',点M的坐标(x',y')，α为坐标轴绕原点转动的角度. 则:
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| 4.一般坐标变换 任一坐标变换可以分解为坐标轴的平移与坐标轴的旋转两部分,按照2、3的记号,新旧坐标之间的变换公式如下:
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§2 空间直角坐标系及其变换
1.直角坐标系
坐标系：O-XYZ(右手系)
点M(x,y,z),x为横坐标，y为纵坐标，z为竖坐标.
在Ⅰ～Ⅷ八个象限中坐标x,y,z的符号为:
| 象限 |
Ⅰ |
Ⅱ |
Ⅲ |
Ⅳ |
Ⅴ | Ⅵ | Ⅶ | Ⅷ |
| x |
+ |
- |
- |
+ |
+ | - | - | + |
| y | + | + | - | - | + | + | - | - |
| z |
+ |
+ |
+ |
+ |
- | - | - | - |
2.坐标轴平移
旧坐标系O-XYZ,点M的坐标(x,y,z).
新坐标系O'-X'Y'Z',点M的坐标(x',y',z').
新坐标系原点O' 在旧坐标系内的坐标为(g,h,k).
则:
或写成矩阵形式：
3.坐标轴旋转
(1)旧坐标系O-XYZ,点M的坐标(x,y,z).
新坐标系O-X'Y'Z',点M的坐标(x',y',z').
新坐标轴OX',OY',OZ'的方向余弦为：
新坐标轴 方向余弦 OX' l1 m1 n1 OY' l2 m2 n2 OZ' l3 m3 n3
则:
或写成以下矩阵形式：
矩阵称为变换矩阵.
注:方向余弦.设OX' 轴与OX,OY,OZ的夹角分别为a1,b1,g1,则l1=cosa1,m1=cosb1,n1=cosg1.OY' 和OZ' 的方余弦意义与此相同.
(2)新、旧坐标之间的关系也可用欧拉角来确定.图中所示的角:y、q和j称为欧拉角.
1)章动角q为OZ与OZ' 两轴正向夹角(0≤q<π).
2)进动角y为OA与OX夹角(0≤y<2π),OA为OXY与OX'Y' 两平面的交线.面对OZ轴的正向,y按逆时针方向从OX轴开始计算.
3)自转角j为OA与OX' 的夹角(0≤j<2π),面对OZ' 轴正向,j按逆时针方向从OX' 轴开始计算.
则：
4.一般坐标变换
任一坐标变换可以分解为坐标轴的平移与坐标轴的旋转两部分,按照2、3的记号,新旧坐标之间的变换公式如下:
或写成如下矩阵形式：
§3 极坐标系，圆柱面坐标系，球面坐标系
1.平面上的极坐标系
极点：O，极轴：OX .
点M(ρ，φ),ρ为矢径（0≤ρ≤∞），φ为极角（-∞<φ<+∞）
φ从极轴开始，逆时针转动为正，顺时针转动为负.
2.平面直角坐标与极坐标的转换
点M(x,y),M(ρ,φ),有
3.圆柱面坐标系
点M的圆柱面坐标：(ρ,φ,z).
ρ,φ为点M在O-XY平面上投影的极坐标；z为点M到平面O-XY的距离，这里
0≤ρ≤∞，-∞<φ<+∞，-∞<z<+∞
4.圆柱面坐标与空间直角坐标的互换
5.球面坐标系
点M的球坐标：(r,φ,θ),
r为矢径长(OM)，φ为经度，θ为纬度（或极距角）.这里
0≤r<∞, -∞<φ<+∞, 0≤θ≤π
6.球面坐标与空间直角坐标系的转换
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