解析几何:第一章坐标系与坐标变换:平面直角坐标系、空间直角坐标系及其变换、极坐标系,圆柱面坐标系,球面坐标系

§1 平面直角坐标系及其变换

 

1.直角坐标系(笛卡儿坐标系)

坐标系:O-XY

M(x,y),x为横坐标,y为纵坐标.

在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个象限中坐标x,y的符号为:

象限

x

+

-

-

+

y

+

+

-

-

 

2.坐标轴平移

旧坐标系O-XY,点M的坐标(x,y).

新坐标系O'-X'Y',点M的坐标(x',y').

新坐标系原点O' 在旧坐标系内的坐标为(g,h).

则:

 

3.坐标轴旋转

旧坐标系O-XY,点M的坐标(x,y).

新坐标系O-X'Y',点M的坐标(x',y'),α为坐标轴绕原点转动的角度.

则:

 

4.一般坐标变换

任一坐标变换可以分解为坐标轴的平移与坐标轴的旋转两部分,按照2、3的记号,新旧坐标之间的变换公式如下:

 




§2 空间直角坐标系及其变换

1.直角坐标系

坐标系:O-XYZ(右手系)

M(x,y,z),x为横坐标,y为纵坐标,z为竖坐标.

 

在Ⅰ~Ⅷ八个象限中坐标x,y,z的符号为:

 

象限

x

+

-

-

+

+ - - +
y + + - - + + - -

z

+

+

+

+

- - - -

 

 2.坐标轴平移

旧坐标系O-XYZ,点M的坐标(x,y,z).

新坐标系O'-X'Y'Z',点M的坐标(x',y',z').

新坐标系原点O' 在旧坐标系内的坐标为(g,h,k).

则:

或写成矩阵形式:  

3.坐标轴旋转

(1)旧坐标系O-XYZ,点M的坐标(x,y,z).

新坐标系O-X'Y'Z',点M的坐标(x',y',z').

新坐标轴OX',OY',OZ'的方向余弦为:

新坐标轴 方向余弦
OX' l1 m1 n1
OY' l2 m2 n2
OZ' l3 m3 n3

 

则:  

 

或写成以下矩阵形式:

 

矩阵称为变换矩阵.

注:方向余弦.设OX' 轴与OX,OY,OZ的夹角分别为a1,b1,g1,则l1=cosa1,m1=cosb1,n1=cosg1.OY' OZ' 的方余弦意义与此相同.

(2)新、旧坐标之间的关系也可用欧拉角来确定.图中所示的角:yqj称为欧拉角.

  1)章动角qOZOZ' 两轴正向夹角(0≤q<π).

  2)进动角yOAOX夹角(0≤y<2π),OAOXYOX'Y' 两平面的交线.面对OZ轴的正向,y按逆时针方向从OX轴开始计算.

  3)自转角jOAOX' 的夹角(0≤j<2π),面对OZ' 轴正向,j按逆时针方向从OX' 轴开始计算.

则:

4.一般坐标变换

任一坐标变换可以分解为坐标轴的平移与坐标轴的旋转两部分,按照2、3的记号,新旧坐标之间的变换公式如下:

或写成如下矩阵形式:









§3 极坐标系,圆柱面坐标系,球面坐标系

1.平面上的极坐标系

极点:O,极轴:OX .

M(ρφ),ρ为矢径(0ρ∞),φ为极角(-<φ<+∞)

φ从极轴开始,逆时针转动为正,顺时针转动为负.

2.平面直角坐标与极坐标的转换

M(x,y),M(ρ,φ),

3.圆柱面坐标系

M的圆柱面坐标:(ρ,φ,z).

ρ,φ为点M在O-XY平面上投影的极坐标;z为点M到平面O-XY的距离,这里

0ρ∞,-<φ<+∞,-<z<+

4.圆柱面坐标与空间直角坐标的互换

 

5.球面坐标系

M的球坐标:(r,φ,θ),

r为矢径长(OM),φ为经度,θ为纬度(或极距角).这里

0r<∞, -∞<φ<+∞, 0θπ

6.球面坐标与空间直角坐标系的转换

    



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