最长回文子串(Manacher算法)

Manacher算法求最长回文子串

给定一个字符串，求它的最长回文子串，例如"1232231"的最长回文子串为"3223"。用Manacher算法可以在O(N)时间内得到结果。

— 目录 —

1> 题目描述

给定一个长度小于100的字符串，求它的最长回文子串的长度

样例输入：
12212321

样例输出
6

2> 分析解法

普通解法

通常情况下我们会想到的方法是：遍历字符串的各个字符，然后对每一个字符找到以它为中心的最长回文串，遍历结束后再将得到的最大串长输出即可。
不难得出，上述方法的时间复杂度为 O(N2) ，而且对于"中心位置"这个概念还要分两种情况：

• 例如对字符串 S，此时遍历到的某个字符 a：
  a对应的回文子串长度为奇数，形如 BaB;
  a对应的回文子串长度为偶数，形如 BaaB;

因此该算法是不太合理的，但是对于 "中心位置" 需要分奇偶情况的问题，我们可以有很好的办法来解决。

改进

为了解决奇偶问题，首先在每个字符的两边插入一个特殊符号 '#'，同时为了方便在代码中处理数组越界问题，在插入后的字符串最左边增加起始符号 '$' 。

例如，字符串 "abcdefg" 经过插入预处理后就变成了 "$ # a # b # c # d # e # f # g #" 。

这样做的好处是，将所有可能的回文子串不论是奇数长度还是偶数长度，都转化为了奇数长度统一处理。

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继续分析，在遍历每个字符时，第 j 个字符对应的回文串与第 i (0 ≤ i < j) 个字符对应的回文串之间会不会存在某种关系？ 从而降低时间复杂度？

如下图 2-1 所示，
i 代表：从左到右遍历字符串时某时刻的字符位置，
id 代表：此时最大回文子串的中心，
mx 代表：最大回文子串的右边界，
j 代表：i 关于 id 的对称点，
图中的大括号分别代表以id 、i 、j 为中心的最长回文串。

图 2-1

假设 P[i] 代表以 i 为中心的最长回文串的长度，
那么根据图 2-1，一定有P[i] = P[j] 。

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如果 i 的右边界大于 mx 呢？
如图 2-2 所示，
此时由于 j 的左边部分延伸到 mx的对称点 左边去了， 所以仅能由虚线部分推测出 P[i] ≥ mx - i 。
至于 P[i] 的值具体是多少，就需要在虚线框的两侧进行两两比较，如果相同，那么 P[i] ++。

图 2-2

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3>算法思路

Manacher算法思路

Manacher 算法的核心思想就是前面讲到的 插入特殊字符转化为奇数处理 和 P[i] >= MIN(P[j], mx - i)，
正是由于Manacher算法采取这种思想后，减少了对于每个字符的左右比较次数，使时间复杂度降低到 O(N) ，空间复杂度仍为 O(N) 不变。

4> 具体过程

Manacher算法过程

下面以S[i] = “1211”为例，演示Manacher算法的具体过程。

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第一步、填充 S[] 为 “$#1#2#1#1#”; 另外再创建数组 P[] ，代表对应字符的最长回文串长度，初始均为0； 定义 id 为最大回文子串的中心； 定义 mx 为最大回文子串的右边界； i 为当前遍历到 S[] 数组的位置 (从 i = 1 开始)。为了方便理解，可以创建如图 4-1所示的表：

图 4-1
如图所示，每一轮包括a、b两个步骤，
a 步骤根据 mx 和 i 的关系确定 P[i] 的值
b 步骤继续更新 P[i] 的值，然后根据当前新的最长回文串的位置更新 mx 和 id 的值

第二步、 i = 1 ：

a -> 先让 P[0] = 1，因为 mx <= i, 所以 P[i] = 1;

b -> 根据如下代码继续更新 P[i]; 因为 P[i] + i > mx , 即当前最大回文串的位置发生了变化， 所以 mx = P[i] + i、id = i。第二步结束后，表格如图 4-2所示。

while (S[i + P[i]] == S[i - P[i]])
{
    P[i]++;
}

图 4-2

第三步、重复上述步骤，每一次变化结果如下各图所示：

图 4-3 当i = 3时

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图 4-4 当i = 4时

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图 4-5 当i = 5时

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图 4-6 当i = 9时
如 图4-6所示， P[i] 最大值为 4， 所以 S[i] 的最长回文子串长度
为 4×2−1=7 ， 所以原字符串 "1211" 的最长回文子串长度为 (7−1)÷2=3 。

5> 实例代码

以下是算法伪代码：

// S[]为已经插入特殊字符后的数组
void Manacher(int S[])
{
    int mx = 0; // 最大回文子串的右边界
    int id;     // 最大回文子串的中心
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        // mx > i 时，P[i] 先取 P[j](即P[2 * id - i]) 与 mx - i 中的较小值
        if (mx > i)
        {
            P[i] = MIN{P[j], mx - i}
        }
        else // mx <= i时， 先让P[i] = 1
        {
            P[i] = 1;
        }
        // a步结束，开始b步
        // 继续更新P[i]
        while (S[i + P[i]] == S[i - P[i]])
        {
            P[i]++;
        }
        // 如果最大回文子串的位置发生改变，则需要更新 id 和 mx
        if (P[i] + i > mx) 
        {
            mx = P[i] + i; // 右边界
            id = i;        // 中心位置
        }
    }
    return;
}

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