51nod - 1035 最长的循环节(数论)

51nod - 1035 最长的循环节

题目

给一个n,(10<= n <= 1000),求小于n的数num, 1 / n u m 1/num 1/num化成小数循环节长度最大的num。

分析

定理:

  1. 如果 1 < = b < a 1 <= b<a 1<=b<a,a没有2或5的质因子,并且a与b互质,那么 b / a b/a b/a的循环节位数恰好等于使下式成立最小的k。 1 0 k ≡ 1 ( m o d a ) 10^{k} \equiv 1 \pmod {a} 10k1(moda)

  2. 如果1<=b b / a b/a b/a的循环节位数必整除 ϕ ( a ) \phi(a) ϕ(a)

#include 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define d(x) cout << (x) << endl
#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int M = 2e2 + 10;
const int N = 1e3 + 10;

int n;
int ans[N]; //预处理前1000项

void init()
{
    for(int i = 2; i <= 1000; i++){
        int num = i;
        ans[i] = 1;
        while(num % 2 == 0)
            num /= 2;
        while(num % 5 == 0)
            num /= 5;
        for(int j = 1; j <= num; j++){
            ans[i] = ans[i] * 10 % num;
            if(ans[i] == 1){
                ans[i] = j;
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d", &n);
    int maxn = -INF;
    int id;
    for(int i = 2; i <= n; i++){    //找最大的一项
        if(ans[i] > maxn){
            id = i;
            maxn = ans[i];
        }
    }
    printf("%d\n", id);
    return 0;
}

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