ARIMA模型介绍

什么是 ARIMA模型

ARIMA模型的全称叫做自回归移动平均模型，全称是(ARIMA, Autoregressive Integrated Moving Average Model)。也记作ARIMA(p,d,q)，是统计模型(statistic model)中最常见的一种用来进行时间序列 预测的模型。

1. ARIMA的优缺点

优点： 模型十分简单，只需要内生变量而不需要借助其他外生变量。

缺点：

1.要求时序数据是稳定的（stationary），或者是通过差分化(differencing)后是稳定的。

2.本质上只能捕捉线性关系，而不能捕捉非线性关系。

注意，采用ARIMA模型预测时序数据，必须是稳定的，如果不稳定的数据，是无法捕捉到规律的。比如股票数据用ARIMA无法预测的原因就是股票数据是非稳定的，常常受政策和新闻的影响而波动。

2. 判断是时序数据是稳定的方法。

严谨的定义： 一个时间序列的随机变量是稳定的，当且仅当它的所有统计特征都是独立于时间的（是关于时间的常量）。

判断的方法：

1. 稳定的数据是没有趋势(trend)，没有周期性(seasonality)的; 即它的均值，在时间轴上拥有常量的振幅，并且它的方差，在时间轴上是趋于同一个稳定的值的。
2. 可以使用Dickey-Fuller Test进行假设检验。（另起文章介绍）

3. ARIMA的参数与数学形式

ARIMA模型有三个参数:p,d,q。

• p--代表预测模型中采用的时序数据本身的滞后数(lags) ,也叫做AR/Auto-Regressive项
• d--代表时序数据需要进行几阶差分化，才是稳定的，也叫Integrated项。
• q--代表预测模型中采用的预测误差的滞后数(lags)，也叫做MA/Moving Average项

先解释一下差分： 假设y表示t时刻的Y的差分。

i f   d = 0 ,   y t = Y t i f   d = 1 ,   y t = Y t − Y t − 1 i f   d = 2 ,   y t = ( Y t − Y t − 1 ) − ( Y t − 1 − Y t − 2 ) = Y t − 2 Y t − 1 + Y t − 2 if d=0, yt=Ytif d=1, yt=Yt−Yt−1if d=2, yt=(Yt−Yt−1)−(Yt−1−Yt−2)=Yt−2Yt−1+Yt−2

ARIMA的预测模型可以表示为：

Y的预测值 = 常量c and/or 一个或多个最近时间的Y的加权和 and/or 一个或多个最近时间的预测误差。

假设p，q，d已知，

ARIMA用数学形式表示为：

y t ˆ = μ + ϕ 1 ∗ y t − 1 + . . . + ϕ p ∗ y t − p + θ 1 ∗ e t − 1 + . . . + θ q ∗ e t − q yt^=μ+ϕ1∗yt−1+...+ϕp∗yt−p+θ1∗et−1+...+θq∗et−q

其 中 , ϕ 表 示 A R 的 系 数 ， θ 表 示 M A 的 系 数 其中,ϕ表示AR的系数，θ表示MA的系数

4.ARIMA模型的几个特例

1.ARIMA(0,1,0) = random walk:

当d=1，p和q为0时，叫做random walk，如图所示，每一个时刻的位置，只与上一时刻的位置有关。

预测公式如下：

Y ˆ t = μ + Y t − 1 Y^t=μ+Yt−1

2. ARIMA(1,0,0) = first-order autoregressive model:

p=1, d=0,q=0。说明时序数据是稳定的和自相关的。一个时刻的Y值只与上一个时刻的Y值有关。

Y ˆ t = μ + ϕ 1 ∗ Y t − 1 . w h e r e ,   ϕ ∈ [ − 1 , 1 ] , 是 一 个 斜 率 系 数 Y^t=μ+ϕ1∗Yt−1.where, ϕ∈[−1,1],是一个斜率系数

3. ARIMA(1,1,0) = differenced first-order autoregressive model:

p=1,d=1,q=0. 说明时序数据在一阶差分化之后是稳定的和自回归的。即一个时刻的差分（y）只与上一个时刻的差分有关。

y ˆ t = μ + ϕ 1 ∗ y t − 1 结 合 一 阶 差 分 的 定 义 ， 也 可 以 表 示 为 ： Y ˆ t − Y t − 1 = μ + ϕ 1 ∗ ( Y t − 1 − Y t − 2 ) 或 者 Y ˆ t = μ + Y t − 1 + ϕ 1 ∗ ( Y t − 1 − Y t − 2 ) y^t=μ+ϕ1∗yt−1结合一阶差分的定义，也可以表示为：Y^t−Yt−1=μ+ϕ1∗(Yt−1−Yt−2)或者Y^t=μ+Yt−1+ϕ1∗(Yt−1−Yt−2)

4. ARIMA(0,1,1) = simple exponential smoothing with growth.

p=0, d=1 ,q=1.说明数据在一阶差分后市稳定的和移动平均的。即一个时刻的估计值的差分与上一个时刻的预测误差有关。

y ˆ t = μ + α 1 ∗ e t − 1 注 意 q = 1 的 差 分 y t 与 p = 1 的 差 分 y t 的 是 不 一 样 的 其 中 ， y ˆ t = Y ˆ t − Y ˆ t − 1 ,   e t − 1 = Y t − 1 − Y ˆ t − 1 , 设 θ 1 = 1 − α 1 则 也 可 以 写 成 ： Y ˆ t = μ + Y ˆ t − 1 + α 1 ( Y t − 1 − Y ˆ t − 1 ) = μ + Y t − 1 − θ 1 ∗ e t − 1 y^t=μ+α1∗et−1注意q=1的差分yt与p=1的差分yt的是不一样的其中，y^t=Y^t−Y^t−1, et−1=Yt−1−Y^t−1,设θ1=1−α1则也可以写成：Y^t=μ+Y^t−1+α1(Yt−1−Y^t−1)=μ+Yt−1−θ1∗et−1

5. ARIMA(2,1,2)

在通过上面的例子，可以很轻松的写出它的预测模型：

y ˆ t = μ + ϕ 1 ∗ y t − 1 + ϕ 2 ∗ y t − 2 − θ 1 ∗ e t − 1 − θ 2 ∗ e t − 2 也 可 以 写 成 : Y ˆ t = μ + ϕ 1 ∗ ( Y t − 1 − Y t − 2 ) + ϕ 2 ∗ ( Y t − 2 − Y t − 3 ) − θ 1 ∗ ( Y t − 1 − Y ˆ t − 1 ) − θ 2 ∗ ( Y t − 2 − Y ˆ t − 2 ) y^t=μ+ϕ1∗yt−1+ϕ2∗yt−2−θ1∗et−1−θ2∗et−2也可以写成:Y^t=μ+ϕ1∗(Yt−1−Yt−2)+ϕ2∗(Yt−2−Yt−3)−θ1∗(Yt−1−Y^t−1)−θ2∗(Yt−2−Y^t−2)

6. ARIMA(2,2,2)

y ˆ t = μ + ϕ 1 ∗ y t − 1 + ϕ 2 ∗ y t − 2 − θ 1 ∗ e t − 1 − θ 2 ∗ e t − 2 Y ˆ t = μ + ϕ 1 ∗ ( Y t − 1 − 2 Y t − 2 + Y t − 3 ) + ϕ 2 ∗ ( Y t − 2 − 2 Y t − 3 + Y t − 4 ) − θ 1 ∗ ( Y t − 1 − Y ˆ t − 1 ) − θ 2 ∗ ( Y t − 2 − Y ˆ t − 2 ) y^t=μ+ϕ1∗yt−1+ϕ2∗yt−2−θ1∗et−1−θ2∗et−2Y^t=μ+ϕ1∗(Yt−1−2Yt−2+Yt−3)+ϕ2∗(Yt−2−2Yt−3+Yt−4)−θ1∗(Yt−1−Y^t−1)−θ2∗(Yt−2−Y^t−2)

7. ARIMA建模基本步骤

1. 获取被观测系统时间序列数据；
2. 对数据绘图，观测是否为平稳时间序列；对于非平稳时间序列要先进行d阶差分运算，化为平稳时间序列；
3. 经过第二步处理，已经得到平稳时间序列。要对平稳时间序列分别求得其自相关系数ACF 和偏自相关系数PACF，通过对自相关图和偏自相关图的分析，得到最佳的阶层 p 和阶数 q
4. 由以上得到的d、q、p，得到ARIMA模型。然后开始对得到的模型进行模型检验。