鸽巢原理

1. 鸽巢原理的简单形式

设$A$是有限集，$|A|⩾n+1,A_i\subseteq A(i=1,2,\cdots ,n)$且${\bigcup }_{i=1}^n{A}_i=A$，则必有正整数$k(1\le k\le n)$，使得$|A_k|\ge 2$。

2. 鸽巢原理的一般形式

将$N$个物体放入$K$个盒子中，至少有一个盒子不少于$\lceil N/K\rceil$个物体。

3. 鸽巢原理的广义形式

将$(n_1+n_2+\cdots +n_k-k+1)$个物体放入$k$个盒子，则存在$i$，第$i$个盒子里不少于$n_i$个物体。

4. 鸽巢原理例题

例题一

证明从任意给的5个整数中必能选出3个数，它们的和能被3整除。

• 证明
  以$A$表示所给的5个整数所成之集，对任一整数$i(0\le i\le 2)$，令
  $$A_i=\{a|a\in A且a除于3所得的余数为i\}$$
  如果$A_0,A_1,A_2$均不是空集，任取$a_i\in A_i$，则$a_0+a_1+a_2$能被3整除。如果$A_0,A_1,A_2$中有空集，去掉一个空集，设余下的两个集合为$A_k$和$A_l(0\le k\le l\le 2)$，则$A_k\cup A_l=A$。由鸽巢原理的一般形式，$A_k$和$A_l$中必有一个集合，其元素个数不少于$\lceil \frac{5}{2}\rceil =3$。显然该集合中的任意3个整数和能被3整除。

5. 鸽巢原理应用

5.1 完全图$K_n$的边着色

设给出的平面上的$n(n\ge 2)$个相异点，用线段将任意两个点都连接起来，所得的图形记为$K_n$，$K_n$称为$n$阶完全图，所给的$n$个相异点都称为$K_n$的顶点，连接$K_n$任意两个顶点的线段称为$K_n$的边。显然，$K_n$共有$\frac{n(n-1)}{2}$条边。

定理：2-着色$K_6$必含有一个单色三角形

• 证明
  设2-着色$K_6$的个顶点为$A_1,A_2,\dots ,A_6$。由鸽巢原理，以$A_1$为一个端点的5条边中必有3条边同色，不妨设$A_1{A}_2,A_1{A}_3,A_1{A}_4$是红边。如果三角形$A_2{A}_3{A}_4$是蓝色三角形，结论成立；否则三角形$A_2{A}_3{A}_4$中至少有一条红边，设$A_i{A}_j(2\le i<j\le 4)$是红边，则三角形$A_1{A}_i{A}_j$是红色三角形。

推论：任意6个人中必有3个人相互认识或者3个人相互不认识

• 证明
  用平面上的6个点代表这6个人，如果两个人认识则用红线把这两个点连接起来；如果两个人不认识则用蓝线把这两个点连接起来，这样得到一个2-着色$K_6$问题，由定理1可以说明该推论是正确的。

5.2 Ramsey数

假设 $a,b$ 为正整数， $a,b\ge 2$ , 则存在最小正整数 $R(a,b)$人,使得有$a$人相互认识,或者有$b$人相互不认识, 称$R(a,b)$为Ramsey数 (拉姆齐数)。也就是$R(a,b)$个顶点的完全子图，用红蓝两种颜色进行着色，无论任何情况至少存在
（1）一个$a$个顶点着红颜色的完全子图，或一个$b$个顶点着蓝颜色的完全子图；
（2）至少存在一个$a$个顶点着蓝颜色的完全子图，或一个$b$个顶点着红颜色的完全子图；
两者必有一个成立。

• 定理1：$R(a,b)=R(b,a),R(a,2)=a$
• 定理2：对于任意整数$a,b\ge 2$，$R(a,b)$存在
• 定理3：$R(a,b)⩽R(a-1,b)+R(a,b-1)$
• 定理4：对于$a,b\ge 2$，有
  $$R(a,b)⩽\left(\begin{array}{c}a+b-2\\ a-1\end{array}\right)$$