《统计学习方法》学习笔记（第七章）

支持向量机

分离超平面：$w^{T}x+b=0$
点到直线距离：$r=\frac{|w^{T}x+b|}{||w|{|}_2}$
$||w|{|}_2$为2-范数：$||w|{|}_2=\sqrt[2]{{\sum }_{i=1}^m{w}_i^2}$

直线为超平面，样本可表示为：
$w^{T}x+b\ge +1$
$w^{T}x+b\le +1$

margin：
函数间隔：$label(w^{T}x+b)or{y}_i(w^{T}x+b)$
几何间隔：$r=\frac{label(w^{T}x+b)}{||w|{|}_2}$，当数据被正确分类时，几何间隔就是点到超平面的距离

为了求几何间隔最大，SVM基本问题可以转化为求解:($\frac{r^{\ast }}{||w||}$为几何间隔，($r^{\ast }$为函数间隔)
$$\max \frac{r^{\ast }}{||w||}$$$$(subjectto)y_i(w^T{x}_i+b)\ge r^{\ast },i=1,2,..,m$$
分类点几何间隔最大，同时被正确分类。但这个方程并非凸函数求解，所以要先①将方程转化为凸函数，②用拉格朗日乘子法和KKT条件求解对偶问题。

①转化为凸函数：

先令$r^{\ast }=1$，方便计算（参照衡量，不影响评价结果）

$$\max \frac{1}{||w||}$$$$s.t.y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1,i=1,2,..,m$$
再将$\max \frac{1}{||w||}$转化成$\min \frac{1}{2}||w|{|}^2$求解凸函数，1/2是为了求导之后方便计算。
$$\min \frac{1}{2}||w|{|}^2$$$$s.t.y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1,i=1,2,..,m$$
②用拉格朗日乘子法和KKT条件求解最优值：
$$\min \frac{1}{2}||w|{|}^2$$$$s.t.-y_i(w^T{x}_i+b)+1\le 0,i=1,2,..,m$$
整合成：
$$L(w,b,\alpha )=\frac{1}{2}||w|{|}^2+\sum _{i=1}^m{\alpha }_i(-y_i(w^T{x}_i+b)+1)$$
推导：$\min f(x)=\min \max L(w,b,\alpha )\ge \max \min L(w,b,\alpha )$
根据KKT条件：
$$\frac{\partial }{\partial w}L(w,b,\alpha )=w-\sum {\alpha }_i{y}_i{x}_i=0,w=\sum {\alpha }_i{y}_i{x}_i$$$$\frac{\partial }{\partial b}L(w,b,\alpha )=\sum {\alpha }_i{y}_i=0$$
带入$L(w,b,\alpha )$
$\min L(w,b,\alpha )=\frac{1}{2}||w|{|}^2+{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i(-y_i(w^T{x}_i+b)+1)$
$=\frac{1}{2}{w}^{T}w-{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{w}^T{x}_i-b{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i+{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i$
$=\frac{1}{2}{w}^T\sum {\alpha }_i{y}_i{x}_i-{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{w}^T{x}_i+{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i$

$={\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{w}^T{x}_i$

$={\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}{\sum }_{i,j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i{x}_j)$

再把max问题转成min问题：

$\max {\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}{\sum }_{i,j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i{x}_j)=\min \frac{1}{2}{\sum }_{i,j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i{x}_j)-{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i$

$s.t.{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0,$

${\alpha }_i\ge 0,i=1,2,...,m$

以上为SVM对偶问题的对偶形式

kernel
在低维空间计算获得高维空间的计算结果，也就是说计算结果满足高维（满足高维，才能说明高维下线性可分）。
soft margin & slack variable
引入松弛变量$\xi \ge 0$，对应数据点允许偏离的functional margin 的量。
目标函数：
$\min \frac{1}{2}||w|{|}^2+C\sum {\xi }_i$

$s.t.y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1-{\xi }_i$

对偶问题：

$$\max \sum _{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i{x}_j)=\min \frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i{x}_j)-\sum _{i=1}^m{\alpha }_i$$$$s.t.C\ge {\alpha }_i\ge 0,i=1,2,...,m\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0,$$

Sequential Minimal Optimization
首先定义特征到结果的输出函数：$u=w^{T}x+b$.

因为$w=\sum {\alpha }_i{y}_i{x}_i$
有$u=\sum y_i{\alpha }_{i}K(x_i,x)-b$

$\max {\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j<\varphi (x_i{)}^T$

$s.t.{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0,$

${\alpha }_i\ge 0,i=1,2,...,m$

SMO算法是一种启发式算，其基本思路是：如果所有变量的解都满足此最优化问题的KKT条件，那么这个最优化的问题的解就得到了。
否则，选择两个变量，固定其他变量，针对这两个变量构建一个二次规划问题。
整个SMO算法包括两个部分：求解两个变量二次规划的解析方法和选择变量的启发式方法。
求解两个变量的二次规划问题：首先分析约束条件，然后在此约束条件下求极小。

class SVM:
    def __init__(self, max_iter=100, kernel='linear'):
        self.max_iter = max_iter
        self._kernel = kernel
    
    def init_args(self, features, labels):
        self.m, self.n = features.shape
        self.X = features
        self.Y = labels
        self.b = 0.0
        
        # 将Ei保存在一个列表里
        self.alpha = np.ones(self.m)
        self.E = [self._E(i) for i in range(self.m)]
        # 松弛变量
        self.C = 1.0
        
    def _KKT(self, i):
        y_g = self._g(i)*self.Y[i]
        if self.alpha[i] == 0:
            return y_g >= 1
        elif 0 < self.alpha[i] < self.C:
            return y_g == 1
        else:
            return y_g <= 1
    
    # g(x)预测值，输入xi（X[i]）
    def _g(self, i):
        r = self.b
        for j in range(self.m):
            r += self.alpha[j]*self.Y[j]*self.kernel(self.X[i], self.X[j])
        return r
    
    # 核函数
    def kernel(self, x1, x2):
        if self._kernel == 'linear':
            return sum([x1[k]*x2[k] for k in range(self.n)])
        elif self._kernel == 'poly':
            return (sum([x1[k]*x2[k] for k in range(self.n)]) + 1)**2
    
        return 0
    
    # E（x）为g(x)对输入x的预测值和y的差
    def _E(self, i):
        return self._g(i) - self.Y[i]
    
    def _init_alpha(self):
        # 外层循环首先遍历所有满足0= 0:
                j = min(range(self.m), key=lambda x: self.E[x])
            else:
                j = max(range(self.m), key=lambda x: self.E[x])
            return i, j
        
    def _compare(self, _alpha, L, H):
        if _alpha > H:
            return H
        elif _alpha < L:
            return L
        else:
            return _alpha      
    
    #SMO算法
    def fit(self, features, labels):
        #初始化参数 
        self.init_args(features, labels)
        
        #循环训练
        for t in range(self.max_iter):
            
            # train
            #选择变量 检验训练样本点是否满足KKT条件
            i1, i2 = self._init_alpha()
            
            # 边界
            #求解两个变量的二次规划问题
            if self.Y[i1] == self.Y[i2]:
                L = max(0, self.alpha[i1]+self.alpha[i2]-self.C)
                H = min(self.C, self.alpha[i1]+self.alpha[i2])
            else:
                L = max(0, self.alpha[i2]-self.alpha[i1])
                H = min(self.C, self.C+self.alpha[i2]-self.alpha[i1])
                
            E1 = self.E[i1]
            E2 = self.E[i2]
            # eta=K11+K22-2K12
            eta = self.kernel(self.X[i1], self.X[i1]) + self.kernel(self.X[i2], self.X[i2]) - 2*self.kernel(self.X[i1], self.X[i2])
            if eta <= 0:
                # print('eta <= 0')
                continue
                
            alpha2_new_unc = self.alpha[i2] + self.Y[i2] * (E1 - E2) / eta#此处有修改，根据书上应该是E1 - E2，书上130-131页
            alpha2_new = self._compare(alpha2_new_unc, L, H)
            
            alpha1_new = self.alpha[i1] + self.Y[i1] * self.Y[i2] * (self.alpha[i2] - alpha2_new)
            
            b1_new = -E1 - self.Y[i1] * self.kernel(self.X[i1], self.X[i1]) * (alpha1_new-self.alpha[i1]) - self.Y[i2] * self.kernel(self.X[i2], self.X[i1]) * (alpha2_new-self.alpha[i2])+ self.b 
            b2_new = -E2 - self.Y[i1] * self.kernel(self.X[i1], self.X[i2]) * (alpha1_new-self.alpha[i1]) - self.Y[i2] * self.kernel(self.X[i2], self.X[i2]) * (alpha2_new-self.alpha[i2])+ self.b 
            
            if 0 < alpha1_new < self.C:
                b_new = b1_new
            elif 0 < alpha2_new < self.C:
                b_new = b2_new
            else:
                # 选择中点
                b_new = (b1_new + b2_new) / 2
                
            # 更新参数
            self.alpha[i1] = alpha1_new
            self.alpha[i2] = alpha2_new
            self.b = b_new
            
            self.E[i1] = self._E(i1)
            self.E[i2] = self._E(i2)
        return 'train done!'
            
    def predict(self, data):
        r = self.b
        for i in range(self.m):
            r += self.alpha[i] * self.Y[i] * self.kernel(data, self.X[i])
            
        return 1 if r > 0 else -1
    
    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0
        for i in range(len(X_test)):
            result = self.predict(X_test[i])
            if result == y_test[i]:
                right_count += 1
        return right_count / len(X_test)
    
    def _weight(self):
        # linear model
        yx = self.Y.reshape(-1, 1)*self.X
        self.w = np.dot(yx.T, self.alpha)
        return self.w