峰度（Kurtosis）与偏态（Skewness）

 

我们在应用ArcGIS提供的克里格（Kriging）插值工具之前，经常要对数据的分布情况进行考察，这是因为克里格插值的前提假设之一就是数据服从正态分布。峰度（Kurtosis）与偏态（Skewness）就是量测数据正态分布特性的两个指标。

（1）峰度（Kurtosis）

峰度衡量数据分布的平坦度（flatness）。尾部大的数据分布，其峰度值较大。正态分布的峰度值为3。其公式如下：

式中， K表示峰度（无量纲）； i表示第 i个数值； xbar表示平均值； n是采样数量。

图 1

如图 1所示，黑线服从尖峰（leptokurtic）、厚尾（thick-tailed）分布的峰度值大于3。红线服从正态分布，峰度值等于3。

注意，个别的软件会将峰度值减3，ArcGIS默认正态分布的峰度为3。MS Excel的计算公式与上面略有不同。

（2）偏态（Skewness）

偏态量度对称性。0说明是最完美的对称性，正态分布的偏态就是0。如图2所示，右偏态为正，表明平均值大于中位数。反之为左偏态，为负。

图 2

偏态的计算公式如下：

式中， S表示偏度（无量纲）；i 表示第 i个数值； xbar表示平均值； n是采样数量。

（3）采样数量对峰度和偏态的影响

在真实世界里，我们是不能获得全部数据的。那么，从局部已获得的采样点数据来推测整体就是现实最优的选择。下面举例说明，采样点数量对峰度和偏态的影响。

数据描述：有一列数据集，内含5000个数值，依次抽样数量从5个升至5000个随机抽取，每次抽取分为5次重复，计算N个抽样数量下的峰度和偏态的最大值、平均值、中位数和最小值。

表 一

如表一所示，采样数量从5至5000个，若以全部采样（5000）得到的峰度和偏度为真值，那么小于5000个采样的峰度和偏度对整体的估计就不一定很准确了。抽样数量为500时，峰度从2.9682~2.6704，偏度为0.1705到-0.0841，这与真值都相差较大，可能对真实的情况产生误导。由此发现，峰度和偏度的准确性非常依赖于采样的数量。因此，也有人对峰度和偏态量度数据分布的能力产生质疑。

即使是全部采样（数量为5000），又由于采样的序列不同，峰度和偏态也不相同，如表一黄色单元格。

下面附有数据及Matlab代码。

code.rar