考研数学之高等数学知识点整理——8.不定积分

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八、不定积分

1 不定积分的基本性质

$[\int f(x)\mathrm{d}x{]}^{\prime }=f(x)$，$\mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x$

$\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}f(x)=f(x)+C$

$\int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x，(k̸=0为常数)$

$\int [f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\pm \int g(x)\mathrm{d}x$

2 基本积分公式

$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{1+a}{x}^{1+a}+C$

$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C$

$\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$，$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$

$\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C$

$\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$

$\int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=\tan x+C$

$\int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x=-\cot x+C$

$\int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C$

$\int \csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C$

$\int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \csc x\mathrm{d}x=\ln |\csc x-\cot x|+C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C$

$\int \frac{1}{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln |\frac{a+x}{a-x}|+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$

3 不定积分法

3.1 第一类换元积分法

设f(u)有原函数F(u)，u=φ(x)可导，则有
$$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int f[\phi (x)]\mathrm{d}\phi (x)=\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C=F(\phi (x))+C$$

3.2 第二类换元积分法

设函数x=φ(x)具有连续导数，且φ’(x)≠0，又设f[φ(t)]φ’(t)具有原函数Φ(t)，则
$$\int f(x)\mathrm{d}x=\int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\Phi (t)+C=\Phi [{\phi }^{-1}(x)]+C$$

3.3 分部积分法

设函数u=u(x)，v=v(x)具有连续导数，则
$$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$$