考研数学之高等数学知识点整理——10.无穷级数

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十、无穷级数

1 级数的概念与性质

定义
数列{u_n}所构成的表达式u₁+u₂+···+u_n+···称为无穷级数，记为$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$。u_n称为级数的一般项，$s_n=\sum _{i=1}^n{u}_i$称为级数的部分和。若$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=s$，则称级数收敛，且s为级数的和。若{s_n}没有极限，则称级数发散。

• 性质 1
  设k≠0，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$与$\sum _{n=1}^{\infty }k{u}_n$同敛散。
  

• 性质 2
  ① 若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$分别收敛于S，σ，则$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)$收敛于S±σ。
  
  ② 若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$和$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$都发散，则$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n+v_n)$可能收敛，也可能发散。
  注：

  若一个收敛，一个发散，则和一定发散。

• 性质 3
  改变前有限项不影响级数的敛散性
  

• 性质 4
  收敛级数加括号仍收敛，且和不变。
  注：

  一个级数加括号后收敛，原级数不一定收敛；一个级数加括号后发散，则原级数一定发散。

• 性质 5
  $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛的必要条件是$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$
  

• 推论
  若$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n̸=0$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$一定发散。
  

2 级数的收敛准则

2.1 正项级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n，(u_n⩾0)$$

• 定理 1
  正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛⟺部分和数列有上界。
  

• 定理 2 (比较判别法)
  若0≤u_n≤v_n，则
  ① $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛⟹$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛；
  
  ② $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散⟹$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$发散。
  

• 定理 3 (比较判别法的极限形式)
  设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$和$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$都是正项级数，且$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l，(0⩽l⩽+\infty )$，则有
  ① 若0$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$与$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$同敛散；
  
  ② 若l=0，则$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛⟹$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散⟹$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$发散；
  
  ③ 若l=+∞，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛⟹$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$发散⟹$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散；
  

• 定理 4 (比值判别法)
  设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$为正项级数，若$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$当ρ<1时收敛，ρ>1时发散，ρ=1时不确定。
  

• 定理 5 (根值判别法)
  设$\sum _{n=1}^{\infty }$为正项级数，若$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\rho$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$当ρ<1时收敛，ρ>1时发散，ρ=1时不确定。
  

2.2 交错级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n，(u_n>0)$$

• 定理 (莱布尼茨判别法)
  若u_n≥u_n+1(n=1,2,…)，$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n$，则级数$\underset{n\to \infty }{\lim }(-1{)}^{n-1}{u}_n$收敛。
  注:

  莱布尼茨判别法是一个充分条件，即若$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n，u_n>0$收敛，但不一定有u_n≥u_n+1(n=1,2…)成立。
  用莱布尼茨判别法判定$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$是否收敛时，说明u_n≥u_n+1通常有下列三种方法：
  ① 利用$\frac{u_{n+1}}{u_n}⩽1；$
  ② 利用$u_{n+1}-u_n⩽0$；
  ③ 求出一个可导函数f(x)，使得f(n)=u_n，并由f’(x)<0说明u_n是单调递减的。在考察$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$时，也可以用这种方法，即考察$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$

2.3 任意项级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(u_n为任意实数)$$

• 绝对收敛与条件收敛
  若$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$收敛，则称$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$绝对收敛；若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，而$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$发散，则称$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$条件收敛。
  

• 绝对收敛与条件收敛的一些基本结论
  绝对收敛的级数一定收敛，即$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$收敛⟹$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛。
  条件收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散，即若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$条件收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n+|u_n|}{2}$和$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n-|u_n|}{2}$都发散。
  

3 函数项级数和幂级数

3.1 函数项级数、收敛域与和函数

• 定义 1
  设u₁(x)，u₂(x)，···，u_n(x)是定义在区间I上的函数列，则称$u_1(x)+u_2(x)+\cdot \cdot \cdot +u_n(x)+\cdot \cdot \cdot =\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$为定义在区间I上的函数项级数。
  若x₀∈I，常数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$收敛，则称x₀为$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$的收敛点，否则称为发散点，所有收敛点构成的集合称为收敛域。
  

• 定义 2
  函数项级数在收敛域内有和，其值与收敛点x有关，记为S(x)，S(x)称为级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$的和函数，即$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$
  

3.2 幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域

• 定义 1
  形如$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$的函数项级数称为幂级数，特别的，当x₀=0时，有$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$。
  

• 定理 1 (阿贝尔定理)
  如果$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$当x=x₀(x₀≠0)时收敛，则当|x|<|x₀|时，$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$绝对收敛；如果当x=x₀时发散，则当|x|>|x₀|时，$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$发散。
  

• 定义 2
  若存在R，使得$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$在(-R,R)内收敛，而当|x|>R时，$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$发散，则称R为幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的收敛半径，(-R,R)称为$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的收敛区间。
  

• 定理 2
  如果$\underset{n\to +\infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$，则$R=\frac{1}{\rho }$
  

• 定理 3
  如果$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$，则$R=\frac{1}{\rho }$
  

4 幂级数的性质

4.1 运算性质

设幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的收敛半径为R₁，和函数为S₁(x)，而幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n$的收敛半径为R₂，和函数为S₂(x)，令R=min{R₁,R₂}，则有：
$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\pm \sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }(a_n\pm b_n)x^n=S_1(x)\pm S_2(x)，x\in (-R,R)$$

$$(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n)(\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+\cdot \cdot \cdot +a_n{b}_0)x^n=S_1(x)S_2(x)，x\in (-R,R)$$

4.2 和函数的性质

设$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的收敛半径为R，和函数为S(x)，则
① S(x)在(-R,R)上连续；
② S(x)在(-R,R)上可导，且可逐项求导，即
$$S^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$$
③ S(x)在(-R,R)内可积，且逐项可积，即
$${\int }_0^{x}S(x)\mathrm{d}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^x{a}_n{x}^n\mathrm{d}x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n{x}^{n+1}}{n+1}$$

注：

若$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$在x=-R处收敛，则S(x)在x=-R处右连续；若$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$在x=R处收敛，则S(x)在x=R处左连续。

5 函数的幂级数展开式

5.1 泰勒级数

设f(x)在x=x_0处任意阶可导，则幂级数
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdot \cdot \cdot +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\cdot \cdot \cdot$$

5.2 麦克劳林级数

当x₀=0时，级数
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n=f(0)+f^{\prime }(0)x+\cdot \cdot \cdot +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\cdot \cdot \cdot$$
称为f(x)的麦克劳林级数。

5.3 泰勒级数的收敛定理

• 定理
  设f(x)在x=x₀处任意阶可导，则泰勒级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$收敛于f(x)的充分条件是$\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n(x)=0$，其中$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}[x_0+\theta (x-x_0)]}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{(n+1)}，0<\theta <1$。
  

5.4 常用的麦克劳林展开式

① $\frac{1}{1-x}=1+x+\cdot \cdot \cdot +x^n+\cdot \cdot \cdot ，x\in (-1,1)$
② $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2\cdot \cdot \cdot +(-1{)}^n{x}^n+\cdot \cdot \cdot ，x\in (-1,1)$
③ $e^x=1+x+\cdot \cdot \cdot +\frac{x^n}{n!}+\cdot \cdot \cdot ，x\in (-\infty ,\infty )$
④ $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdot \cdot \cdot +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdot \cdot \cdot ，x\in (-\infty ,\infty )$
⑤ $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdot \cdot \cdot +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}\cdot \cdot \cdot ，x\in (-\infty ,\infty )$
⑥ $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2!}+\cdot \cdot \cdot +\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}\cdot \cdot \cdot ，x\in (-1,1]$
⑦ $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdot \cdot \cdot +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdot \cdot \cdot (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+\cdot \cdot \cdot ，x\in (-1,1)$

6 傅里叶级数

6.1 以2l为周期的傅里叶级数

$$f(x)～\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$$

6.2 傅里叶系数

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x，n=0,1,2,...$$
$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x，n=1,2,...$$

• 定理 (收敛定理)
  设f(x)是周期为2l的周期函数，若
  ① 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，
  ② 在一个周期内至多只有有限个极值点。
  则f(x)的傅里叶级数收敛，并且:
  当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；
  当x是f(x)的间断点是，级数收敛于$\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$。