考研数学之线性代数知识点整理——5.特征值与特征向量

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五、特征值与特征向量

1 特征值与特征向量定义

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零向量x使Ax=λx成立，则称数λ为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量(或称为A的属于特征值λ的特征向量)。

2 特征值与特征向量性质

• ① n阶矩阵A与它的转置矩阵A^T有相同的特征值。
• ② 设$A=(a_{ij})$是n阶矩阵，则
  $f(\lambda )=|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}& -a_{12}& \cdot \cdot \cdot & -a_{1n}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& \cdot \cdot \cdot & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdot \cdot \cdot & \lambda -a_{nn}\end{array}\right|$
  $={\lambda }^n-(\sum _{i=1}^n{a}_{ii}){\lambda }^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +(-1{)}^k{S}_k{\lambda }^{n-k}+\cdot \cdot \cdot +(-1{)}^n|A|$
  其中$S_k$是A的全体k阶主子式的和。设${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdot \cdot \cdot ,{\lambda }_n$是A的n个特征值，则由n次代数方程的根与系数的关系有
  ${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdot \cdot \cdot +{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+\cdot \cdot \cdot +a_{nn}$
  ${\lambda }_1{\lambda }_2\cdot \cdot \cdot {\lambda }_n=|A|$
  其中A的主对角线元素之和$a_{11}+a_{22}+\cdot \cdot \cdot +a_{nn}$称为矩阵A的迹，记为tr(A)。
• ③ 设$A=(a_{ij})$是n阶方阵，如果$\sum _{j=1}^n|a_{ij}|<1(i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n)$或$\sum _{i=1}^n|a_{ij}|<1(j=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n)$有一个成立，则矩阵A的所有特征值${\lambda }_i$的模小于1，即$|{\lambda }_i|<1(i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n)$。
• ④ n阶矩阵A的互不相等的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdot \cdot \cdot ,{\lambda }_n$对应的特征向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ,{\alpha }_n$线性无关。
  • 属于不同特征值的特征向量是线性无关的；
  • 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量；
  • 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值对应的特征向量不唯一，一个特征向量不能属于不同的特征值；
  • 若${\lambda }_1$为n阶矩阵A的$k_i$重特征值，则属于特征值的线性无关特征向量个数不超过其特征值的重数$k_i$；
• ⑤ 若λ是A的特征值，则f(λ)为A的多项式f(A)的特征值，λ也是$A^T$的特征值。当λ≠0时，${\lambda }^{-1}$是$A^{-1}$的特征值，$\frac{|A|}{\lambda }$是$A^{\ast }$的特征值
  

3 相似矩阵

3.1 定义

设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使$P^{-1}AP=B$，则称B是A的相似矩阵，并称矩阵A与B相似，记为A∽B。

3.2 性质

• 相似矩阵有相同的特征多项式。
• 相似矩阵的秩相等。
• 相似矩阵的行列式相等。
• 相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。
  

4 矩阵与对角矩阵相似的条件

• n阶矩阵A与对角矩阵$\Lambda =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$相似的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。
• 若n阶矩阵A有n个不同的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdot \cdot \cdot ,{\lambda }_n$，则A与对角矩阵Λ相似，对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P，使$P^{-1}AP=\Lambda$为对角阵，则称方阵A可对角化。
• n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设${\lambda }_i$

A与B相似⟺$r(A-{\lambda }_{i}E)=n-n_i(i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n)$。

5 实对称矩阵

• 实对称矩阵的特征值都是实数。
• 设${\lambda }_1,{\lambda }_2$是实对称矩阵A的两个特征值，${\alpha }_1,{\alpha }_2$是对应的特征向量，若${\lambda }_1̸={\lambda }_2$，则${\alpha }_1$与${\alpha }_2$正交。
• 设A为n阶实对称矩阵，λ是A的特征方程的k重根，则$r(A-\lambda E)=n-k$，从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量。
• 设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使$P^{-1}AP=B$(即实对称矩阵必可正交对角化)。