考研数学之高等数学知识点整理——5.中值定理

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五、中值定理

1 罗尔(Rolle)定理

若y=f(x)满足以下条件
① 在[a,b]上连续
② 在(a,b)内可导
③ $f(b)=f(a)$
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得
$$f^{\prime }(\xi )=0$$

2 拉格朗日(Lagrange)中值定理

若y=f(x)满足以下条件
① 在[a,b]上连续
② 在(a,b)内可导
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi )$$

3 柯西(Cauchy)定理

若f(x)，g(x)满足以下条件：
① 在[a,b]上连续
② 在(a,b)内可导
③ g’(x)≠0
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$$

4 洛必达法则

设x→x₀(x→∞，或单侧极限)时
① f(x)与g(x)均为无穷小量(或无穷大量)
② 在x₀的某去心邻域内(或|x|>N)，f’(x)与g’(x)都存在且g’(x)≠0
③ $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$存在(或为无穷大)
则
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$
$$或\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

5 泰勒(Taylor)定理

5.1 泰勒定理

设f(x)在含有x₀的某个开区间I内有直到(n+1)阶导数，则对任一x∈I，
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdot \cdot \cdot +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$
其中$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$，(ξ在x₀与x之间)。
若$R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$，则称为f(x)在x₀处带有皮亚诺余项的n阶泰勒公式

5.2 麦克劳林公式

设f(x)在含有x=0的区间I上有(n+1)阶导数，则
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdot \cdot \cdot +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}，(\xi 在x0与x之间)$$
称为f(x)的n阶麦克劳林公式。

5.3 一些初等函数的麦克劳林公式

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdot \cdot \cdot +\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}{x}^{n+1}，(0<\theta <1)$

$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdot \cdot \cdot +\frac{(-1{)}^{k-1}}{(2k-1)!}{x}^{2k-1}+(-1{)}^k\frac{\cos \theta x}{(2k+1)!}{x}^{2k+1}，(0<\theta <1)$

$\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdot \cdot \cdot +\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{x}^{2k}+(-1{)}^{k+1}\frac{\cos \theta x}{(2k+2)!}{x}^{2k+2}，(0<\theta <1)$

$(1+x{)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdot \cdot \cdot +\frac{m(m-1)\cdot \cdot \cdot (m-k+1)}{k!}{x}^k+\frac{m(m-1)\cdot \cdot \cdot (m-k)}{(k+1)!}(1+\theta x{)}^{m-k-1}{x}^{k+1}，(0<\theta <1)$

6 四个中值定理之间的关系