Dijkstra算法及其优化（Dijkstra+heap）

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是一种经典的求单源最短路的算法，大体上就是利用已经找到的点的最短路去推其他点的最短路。

我们先将图中的点分为两部分：

S：已经找到最短路的点

T：图G - S，剩下的点

具体过程如下：

• 将dis数组初始化为INF，源点s，dis[s] = 0，s点加入S集，s点为当前点
• 重复以下步骤：
• 遍历当前点的子点，如果当前点的子点dis值 > dis[当前点]+其之间边的边权，将子点dis值更新为dis[当前点]+其之间边的边权
• 在T集中找出一个dis值最小的点移入S集，并将其作为当前点
• 直到T集为空时，结束

经过上述步骤之后，dis数组内的值便是每一点到源点的最短路值。

示例代码（kuangbin模板）：

const int MAXN=1010;
#define typec int
const typec INF=0x3f3f3f3f;//防止后面溢出，这个不能太大
bool vis[MAXN];
int pre[MAXN];
void Dijkstra(typec cost[][MAXN], typec lowcost[], int n,int beg){
    for(int i=0;ifalse; pre[i]=−1;
    }
    lowcost[beg]=0;
    for(int j=0;jint k=−1;
        int Min=INF;
        for(int i=0;iif(!vis[i]&&lowcost[i]if(k==−1)break;
        vis[k]=true;
        for(int i=0;iif(!vis[i]&&lowcost[k]+cost[k][i]

算法中每次寻找T集中dis值最小的点的复杂度为O(n)，我们可以用堆（heap）来优化这一过程，使其复杂度降到O(logn)，这样总体复杂度降到O(nlogn)。

示例代码（kuangbin模板）：

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1000010;
struct qnode{
    int v;
    int c;
    qnode(int _v=0,int _c=0):v(_v),c(_c){}
    bool operator <(const qnode &r)const{
        return c>r.c;
    }
};
struct Edge{
    int v,cost;
    Edge(int _v=0,int _cost=0):v(_v),cost(_cost){}
};
vectorE[MAXN];
bool vis[MAXN];
int dist[MAXN];
//点的编号从 1 开始
void Dijkstra(int n,int start){
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=INF;
    priority_queueque;
    while(!que.empty())que.pop();
    dist[start]=0;
    que.push(qnode(start,0));
    qnode tmp;
    while(!que.empty()){
        tmp=que.top();
        que.pop();
        int u=tmp.v;
        if(vis[u])continue;
        vis[u]=true;
        for(int i=0;iint v=E[tmp.v][i].v;
            int cost=E[u][i].cost;
            if(!vis[v]&&dist[v]>dist[u]+cost){
                dist[v]=dist[u]+cost;
                que.push(qnode(v,dist[v]));
            }
        }
    }
}
void addedge(int u,int v,int w){
    E[u].push_back(Edge(v,w));
}