数据结构 —— 关键路径详解

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一、定义引入：

１、ＡＯＶ：

有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动之间开始的先后顺序，则称这种有向图为AOV（Activity On Vertex）网络；

AOV网络可以反应任务完成的先后顺序（拓扑排序）。

２、AOE:

在实际应用中，活动除了先后关系外，还需考虑时间上的约束

在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，边上的权值表示活动的持续时间，称这样的有向图叫做边表示活动的网，简称AOE网。　

如图：

３、

AOE网中只有一个入读为零的顶点称为始点（或源点），只有一个出度为零的顶点称为终点（或汇点）。

４、性质：

⑴ 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始；

⑵ 只有在进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。

５、

完成一个工程所需要的最短时间是从源点到汇点的最长路径长度

关键路径：具有最长长度的路径，这里的路径长度是路径上的各权值之和　

　　　　　注意：关键路径不一定只有一条。

关键活动：关键路径上的活动称为关键活动。（需要满足　ee [i]=el [i]　）

！！　关键路径的长度是整个工程所需要的最短工期，要缩短整个工期，必须要加快关键活动的进度

 

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二、求关键活动所需要的参量

 

⑴ 　事件的最早发生时间　ve[k]　－　从前往后，前驱结点到当前结点所需时间，取最大值。

　　ve[k]是指从始点开始到顶点vk的最大路径长度。这个长度决定了　所有从顶点vk发出的活动能够开工的最早时间。

　　　　

 

⑵ 事件的最迟发生时间　vl[k]　－　从后往前，后继结点的最迟发生时间-边权值，取最小值。

 

　　vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下,　事件vk允许的最晚发生时间。

　　　 

 

⑶ 活动的最早开始时间　ee [i]

　　若活动ai是由弧<vk , vj> 表示，则活动 ai的最早开始时间应等于事件vk的最早发生时间。

       因此，有：e[i]=ve[k]

⑷ 活动的最晚开始时间　el [i]

　　活动ai的 最晚开始时间是指，在不推迟整个工期的前提下， ai 必须开始的最晚时间。若ai由弧<vk，vj>表示，则ai的最晚开始时间要保证事件 vj 的最迟发生时间不拖后。

      因此，有：el [i]=vl [j]- len<vk, vj>

(5).最早开始时间：等于当前边起始结点的最早发生时间。

(6).最晚开始时间：等于当前边指向结点的最迟发生时间-当前边的权值。(时间最迟发生时间)

(7).最早完工时间：等于当前边指向结点的最早发生时间。　(活动最早开始时间)

(8).最晚完工时间：等于当前边指向结点的最迟发生时间。    (活动最晚开始时间)

 

示例：

　　

所以：